FCC - Analista Judiciário (TRT 19ª Região)/Apoio Especializado/Estatística/2014

Sabe-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b] com b > a, que sua média é 1 e que sua variância é igual à variância de uma distribuição t de Student com 8 graus de liberdade. Nessas condições, P(X < 1,5) é igual a

a) 0,625. 

b) 0,725. 

c) 0,225. 

d) 0,150. 

e) 0,450.

Resolução:

A média da distribuição uniforme no intervalo de a até b é:

E(X)=a+b2

 

1=a+b2

 

a+b=2.... (equação I)

 

A variância da T de Student com v$v$ graus de liberdade é dada por:

 

vv−2

 

=86

 

Este valor é igual à variância da distribuição uniforme no intervalo entre a e b. A variância da uniforme é assim expressa:

 

V=(b−a)212

 

86=(b−a)212

 

(b−a)2=12×86

 

(b−a)2=16

 

b−a=±4

 

Como b>a$b>a$, necessariamente b−a é maior que 0:

 

b−a=4... (equação II)

 

Sabemos que:

 

b+a=2..(I)

 

b−a=4...(II)

 

Somando as duas equações:

 

2b=6→b=3

 

Portanto:

 

a=2−b=2−3=−1

 

 

Agora podemos desenhar o gráfico da função densidade da distribuição uniforme trabalhada na questão:

 

A área azul é igual a 1. Logo, a altura, desconhecida, é igual ao inverso da base.

 

A base vale 3−(−1)=4. O que implica em altura valendo 1/4.

 

A probabilidade de X < 1,5 é igual à área azul abaixo:

 

Temos um retângulo de base 1,5−(−1)=2,5$1,5-(-1)=2,5$ e altura 0,25$0,25$. Sua área fica:

 

2,5×0,25=0,625

 

Gabarito: A