Crescimento Econômico: Acumulação de Capital e Crescimento Populacional

1 - A ACUMULAÇÃO DE CAPITAL

O modelo de crescimento de Solow demonstra como o crescimento da força de trabalho, o crescimento do estoque de capital e os avanços tecnológicos interagem em uma economia, assim como o modo pela qual afetam a produção total de bens e serviços de uma nação.

A oferta de bens e a função de produção: a oferta de bens no modelo de Solow é baseada no modelo de produção que utiliza capital e trabalho:

Y = F(K, L)

O modelo de Solow parte do pressuposto que a produção possui retornos constantes de escala. Uma função de produção possui rendimentos constantes de escala se

zY = F(zK,zL)

para qualquer número positivo z.

As funções de produção com retornos constantes de escala nos permite analisar todos os valores na economia relativos ao tamanho da força de trabalho. Para confirmar isso, faça com que z = 1/L na equação anterior, de modo a obter:

Y/L = F(K/L,1)

Essa equação demonstra que a produção por trabalhador (Y/L) é função do estoque de capital por trabalhador (K/L). O pressuposto de retornos constantes de escala implica que o tamanho da economia não afeta a relação entre produção por trabalhador e capital por trabalhador. Sendo:

y = Y/L

k = K/L

Podemos escrever então a função de produção da seguinte forma:

y = f(k)

A inclinação dessa função mostra a quantidade adicional que um trabalhador produz quando considerada uma quantidade adicional de capital, ou seja, a produtividade marginal do capital - PMgK. 

PMgK = f(k+1) - f(k)

A demanda por bens e a função de consumo: A demanda por bens no modelo de Solow deriva do consumo e do investimento. 

y = c + i

Essa equação corresponde à versão por trabalhador para a identidade das contas nacionais de uma economia. O modelo de Solow pressupõe que as pessoas consomem uma parte de sua renda e poupam a outra parte.  

c = (1 - s)y

Sendo s, a taxa de poupança, um valor entre 0 e 1.

y = (1 - s)y + i

i = sy

Essa equação demonstra que investimento é igual a poupança. Para qualquer estoque específico de capital, k, a função de produção, y = f(k), determina a quantidade de produção gerada pela economia, e a taxa de poupança, s, determina a distribuição dessa produção entre consumo e investimento.

Crescimento no Estoque de Capital e o Estado Estacionário

Duas forças influenciam o estoque de capital: depreciação e investimento. O investimento faz com que o estoque de capital cresça e a depreciação diminui o estoque de capital.

O investimento por trabalhador, i, é igual a sy (poupança). Ao substituirmos y pela função de produção, seremos capazes de expressar o investimento por trabalhador, sob a forma de uma função do estoque de capital por trabalhador:

i = sf(k)

Essa equação relaciona o estoque de capital existente k, à acumulação de novo capital, i. A figura abaixo mostra esta relação.

A figura ilustra o modo pela qual, para qualquer valor de k, o montante de produção é determinado pela função de produção f(k), e o modo como a distribuição dessa produção entre consumo e poupança é determinada pela taxa de poupança, s.

Para incorporarmos a depreciação no modelo, partimos do pressuposto de que uma determinada fração, δ, do estoque de capital se desgasta a cada ano. O montante de capital que se deprecia a cada ano corresponde a δk.

Podemos expressar o impacto do investimento e da depreciação sobre o estoque de capital da seguinte forma:

Variação no Estoque de Capital = Investimento - Depreciação

Δk = i - δk

Δk = sf(k) - δk

A figura abaixo apresenta os termos dessa equação para diferentes níveis de estoque de capital, k.

Quanto mais alto o estoque de capital, maior o investimento e a produção. Contudo, quanto mais alto o nível de capital, maior a depreciação.

No ponto k*, em que o investimento é igual a depreciação, o estoque de capital não variará. Ou seja, em k*, Δk = 0, de modo que o estoque de capital, k, e a produção, f(k), permanecem constantes ao longo do tempo. Portanto, chamamos de k* o nível de capital no estado estacionário.

O estado estacionário é significativo por duas razões. Uma economia que se encontra no estado estacionário vai permanecer nele. Caso ela não se encontre no estado estacionário, vai convergir para o mesmo. Independente do nível de capital com o qual comece, a economia terminará com o nível de capital do estado estacionário. 

''O estado estacionário representa o equilíbrio da economia no longo prazo''

Como a poupança afeta o crescimento

Considere o que acontece com uma economia quando sua taxa de poupança aumenta. A figura abaixo mostra este tipo de mudança.

A economia encontra-se no estado estacionário k1* com a taxa de poupança s1. Quando a taxa de poupança cresce de s1 para s2 a curva f(k) cresce em sentido ascendente. O novo estado estacionário, k2*, apresenta um maior estoque de capital e um nível de produção superior ao antigo estado estacionário.

''Se a taxa de poupança for alta, a economia terá um grande estoque de capital e um nível de produção elevado, no estado estacionário. Se a taxa de poupança for baixa, a economia terá um pequeno estoque de capital e um nível de produção reduzido no estado estacionário''. 

Uma maior poupança acarreta um crescimento mais rápido, no modelo de Solow, mas apenas temporariamente. Um incremento na taxa de poupança aumenta o crescimento somente até que a economia alcance o novo estado estacionário. Se a economia mantém uma elevada taxa de poupança, ela manterá um grande estoque de capital e um alto nível de produção, mas não será capaz de manter para sempre uma elevada taxa de crescimento. 

Políticas que alteram a taxa de crescimento da renda per capita, no estado estacionário, trazem consigo um efeito de crescimento. Uma taxa de poupança mais elevada traz consigo um efeito de nível. 

2 - O NÍVEL DE CAPITAL DA REGRA DE OURO

O valor para k, no estado estacionário, que maximiza o consumo, é conhecido como nível de capital da regra de ouro, e é representado por meio de k*ouro.

Como podemos ser capazes de afirmar se uma determinada economia está no nível da Regra de Ouro?

Para responder a esta pergunta, devemos determinar o o consumo por trabalhador, no estado estacionário. Depois disso, seremos capazes de verificar qual o estado estacionário que proporciona o máximo de consumo.

Vamos iniciar com a identidade

y = c + i
c = y - i

Vamos substituir a produção e o investimento por seus respectivos valores no estado estacionário. A produção por trabalhador, no estado estacionário, é f(k*), onde k* representa o estoque de capital por trabalhador, no estado estacionário. Além disso, uma vez que o estoque de capital não varia no estado estacionário, investimento é igual a depreciação, δk*. Substituindo y por f(k*) e i por δk*, podemos escrever o consumo por trabalhador, no estado estacionário como:

c* = f(k*) - δk*

O consumo no estado estacionário é o que resta da produção depois de remunerada a depreciação do estado estacionário.

A figura abaixo apresenta a produção e a depreciação no estado estacionário, sob a forma de uma função no estoque de capital no estado estacionário.

Ao compararmos os dois estados estacionários devemos ter em mente que níveis mais altos de capital afetam tanto a produção quanto a depreciação. Se o estoque de capital está abaixo do nível da regra de ouro, um aumento no crescimento de capital faz com que a produção cresça mais que a depreciação, de modo que o consumo aumenta. Nesse caso, a função de produção tem declive mais íngreme do que a reta δk*, de modo que o intervalo entre essas duas curvas - consumo - cresça à medida que k* aumenta. Por outro lado, se o estoque de capital está acima do nível da regra de ouro, um aumento no estoque de capital irá reduzir o consumo, uma vez que o aumento da produção será inferior ao aumento da depreciação.

No nível de capital da regra de ouro, a função de produção e a reta δk* apresentam a mesma inclinação e o consumo está em seu nível mais alto. Podemos escrever a regra de ouro como sendo:

δ = PMgK

A Transição para o Estado Estacionário da Regra de Ouro

Suponha agora que a economia tenha atingido um estado estacionário outro que não aquele da regra de ouro. O que acontece com o consumo, o investimento e o capital, quando a economia realiza a transição entre estados estacionários?

Devemos considerar dois casos: a economia pode começar com mais capital do que no estado estacionário da Regra de Ouro, ou com menos.

Vamos começar com uma quantidade demasiadamente grande de capital, o caso em que uma economia começa em um estado estacionário com maior quantidade de capital do que teria no estado estacionário da regra de ouro. O formulador de politica econômica deveria implementar políticas que reduzam a taxa de poupança com o intuito de levar a economia no equilíbrio da regra de ouro.

Suponhamos que essas políticas sejam bem sucedidas e que, em algum determinado ponto, passemos a chama-ló de t0, a taxa de poupança caia para o nível da Regra de Ouro. A figura abaixo mostra o que acontece com a produção, o consumo e o investimento quando a taxa de poupança é reduzida.

A redução da taxa de poupança causa um aumento imediato no consumo e uma redução imediata no investimento. Gradativamente, o estoque de capital passa a cair, acarretando reduções na produção e no consumo e no investimento. Essas variáveis continuam a cair até que a economia alcance o novo estado estacionário. Uma vez que estamos pressupondo que o novo estado seja o da regra de ouro, o consumo deve ser maior do que era antes da alteração da taxa de poupança, ainda que a produção e investimento estejam em níveis mais baixos.

Observe que, ao se comparar com o antigo estado estacionário, o consumo é mais alto, não apenas no novo estado estacionário, mas também ao longo de todo caminho para chegar até ele.

Vamos agora supor que estamos com uma quantidade de capital demasiadamente pequena, quando a economia começa com menos capital do que no estado estacionário da regra de ouro. Neste caso o formulador de politica econômica deve estimular a poupança. A figura abaixo mostra o que acontece.

O crescimento da taxa de poupança no tempo t0 causa uma queda imediata no consumo e um crescimento no investimento. Ao longo do tempo, o investimento mais alto faz com que cresça o estoque de capital. À medida que o capital vai se acumulando, a produção, o consumo e o investimento vão aumentando gradativamente, terminando por se aproximar dos níveis do novo estado estacionário. Uma vez que o estado estacionário inicial estava abaixo da Regra de Ouro, o crescimento na poupança acarreta, por fim, um nível mais alto de consumo do que aquele que prevalecia no incio.

''Quando a economia começa acima da Regra de Ouro, alcançar a Regra de Ouro acarreta um consumo mais elevado em todos os pontos do tempo. Quando a economia começa abaixo da Regra de Ouro, alcançar a Regra de Ouro requer, inicialmente, uma redução do consumo, no intuito de aumentá-lo no futuro.''

3 - CRESCIMENTO POPULACIONAL

O estado estacionário com crescimento populacional

Conforme observamos anteriormente, o investimento faz o estoque de capitais aumentar, assim como a depreciação faz diminui-lo. Mas agora existe um outra força capaz de alterar o estoque de capital por trabalhador: o crescimento populacional.

A variação no estoque de capitais por trabalhador é:

Δk = i - (δ + n)k

A equação acima mostra como o investimento, a depreciação e o crescimento populacional afetam o nível de capital por trabalhador.

Podemos imaginar o termo (δ + n)k como definindo investimento de equilíbrio - a quantidade necessária de investimento para manter constante o estoque de capital por trabalhador.

Nossa análise com o crescimento populacional prossegue quase do mesmo modo que antes. Em primeiro lugar, substituímos i por sf(k). A equação fica então:

Δk = sf(k) - (δ + n)k

Na figura abaixo podemos verificar o que determina o nível de capital no estado estacionário por trabalhador.

Uma economia está em estado estacionário se a quantidade de k permanecer inalterado. No estado estacionário, o efeito positivo do investimento sobre o capital por trabalhador compensa exatamente a depreciação e o crescimento populacional. Ou seja, em k*, Δk = 0 e i* = δk* + nk*.

Os efeitos do crescimento populacional

O crescimento populacional altera o modelo de Solow básico de três maneiras.

Primeiro. No estado estacionário com crescimento populacional, o capital por trabalhador e a produção por trabalhador são constante. Entretanto, uma vez que o número de trabalhadores está aumentando a uma taxa n, o total do capital e o total da produção devem também necessariamente estar crescendo a uma taxa n. Por essa razão, embora não seja capaz de explicar o crescimento sustentável no padrão de vida (uma vez que a produção por trabalhador é constante no estado estacionário), o crescimento populacional pode ajudar a explicar o crescimento sustentável no total da produção.

Segundo. O crescimento populacional nos oferece uma outra explicação para a razão pela qual alguns países são ricos e outros são pobres. Considere os efeitos de crescimento populacional. A figura abaixo mostra que um crescimento de n1 para n2, na taxa de crescimento da população, reduz de k1* para k2* o nível de capital por trabalhador, no estado estacionário. Uma vez que k* é mais baixo, e uma vez que y* = f(k*), o nível de produção por trabalhador, y*, é também mais baixo.

Portando, o modelo de Solow prevê que países com mais crescimento populacional terão níveis mais baixos de PIB per capita. Uma alteração na taxa de crescimento populacional, do mesmo modo que uma alteração na taxa de poupança, exerce um efeito de nível sobre a renda per capita, mas não afeta a taxa de crescimento da renda per capital no estado estacionário.

Terceiro. O crescimento populacional afeta nossos critérios para determinar o nível de capital da Regra de Ouro (maximização do consumo). Para verificar o modo como esse critério sofre modificações, observe que o consumo por trabalhador é:

c = y - i

Uma vez que a produção no estado estacionário é f(k*) e o investimento no estado estacionário é (δ + n)k*, podemos expressar o consumo no estado estacionário sob a forma c* = f(k*) - (δ + n)k*

O nível de k* que maximiza o consumo é aquele no qual

PMgK = δ + n

ou

PMgK - δ = n

No estado estacionário da Regra de Ouro, o produto marginal do capital líquido, depois de extraída a depreciação, é igual à taxa de crescimento populacional.