VUNESP - Profissional Básico (BNDES)/Economia/2002

Um economista, com o objetivo de avaliar o comportamento das vendas de um produto em relação ao correspondente investimento em propaganda, estimou, utilizando o método dos mínimos quadrados, a seguinte função entre essas variáveis, a partir dos dados de 10 empresas, em um determinado período:

Y^i=2,01+1,95Xi
        (1,80)(1,84)

onde Yi e Xi representam, respectivamente, em milhares de reais, as vendas e investimentos da empresa i. Os números em parênteses são os resultados amostrais da estatística t (Student) para os testes de hipótese de nulidade dos respectivos coeficientes. A tabela a seguir fornece, para teste unicaudal, as probabilidades de t > 1,84 para diversos graus de liberdade (distribuição t de Student):

Graus de Liberdade	Probabilidade (%)
1	15,8
2	10,3
3	8,2
4	7,0
5	6,3
6	5,8
7	5,4
8	5,2
9	4,9
10	4,8

Pode-se afirmar que

a) ao nível de significância de 1%, os dados permitem aceitar a hipótese de que as vendas são crescentes com relação ao investimento em propaganda. 

b) os dados não permitem rejeitar a hipótese, ao nível de significância de 5%, de que as vendas não são crescentes com relação ao investimento em propaganda. 

c) para testar qualquer hipótese a respeito dos coeficientes da função estimada, é irrelevante o número de graus de liberdade a considerar. 

d) ao nível de significância de 5%, os dados não permitem aceitar a hipótese de que as vendas são independentes do montante de investimento em propaganda. 

e) os dados permitem aceitar a hipótese das vendas serem crescentes com relação ao investimento em propaganda somente a um nível de significância inferior a 4,8%.

Resolução:

Como nossa amostra tem tamanho 10, já que são 10 empresas (n=10)

 

O número de graus de liberdade para a inferência sobre as estimativas dos parâmetros é n−2=8. É assim porque coincide com o número de graus de liberdade do quadrado médio dos resíduos.

 

Deste modo, a tabela nos diz que P(t>1,84)=5,2%.

 

 

Além disso, foi informado que a hipótese nula é sempre pela nulidade dos coeficientes:

 

H0:coeficiente=0

 

 

Alternativa A - Nível de significância de 1%.

 

De começo, vejam que a alternativa trabalha com o coeficiente angular da reta, já que fala em "comportamento crescente de vendas em relação ao investimento".

 

Aqui há duas conclusões para tirarmos:

• o teste de hipóteses da letra A é para o coeficiente angular

• a hipótese testada é a de que o coeficiente é positivo (para termos comportamento crescente). Como H0 é para coeficiente nulo, a hipótese de coeficiente positivo fica sendo nossa hipótese alternativa (H1)

 

H1:coeficientepositivo

 

O resultado é que em "A" temos um teste de hipóteses unilateral, com região crítica formada por valores muito maiores que zero.

 

Para o coeficiente angular, a estatística teste foi de 1,84.

 

Já sabemos que, se o nível de significância fosse de 5,2%, o valor crítico seria 1,84. Para reduzir o nível de significância para 1%, temos que aumentar o valor crítico. Assim, na letra "a" nosso valor crítico será maior que 1,84.

 

Como a estatística teste é menor que o valor crítico, não rejeitamos H0. 

Concluímos que o coeficiente é nulo. Alternativa errada.

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Alternativa B - nível de significância de 5%.

 

Na letra B a redação ficou um pouco confusa, achei que deu margem a recurso. Mas, com um pouco de boa vontade, chegamos ao seguinte:

• estamos testando hipótese sobre o coeficiente angular, pois é abordado o fato de as vendas serem ou não crescentes em relação ao investimento

• como sempre, H0 é pela nulidade do coeficiente

• a alternativa fala em hipótese do coeficiente "não ser crescente". O problema é que, se algo não é crescente, pode inclusive ser nulo. Assim, na letra B a banca meio que mudou H0 para algo como: H0:coeficiente≤0

• consequentemente, H1: coeficiente>0

Se o nível de significância fosse de 5,2%, o valor crítico seria 1,84. Para reduzir o nível de significância para 5%, temos que aumentar o valor crítico. Assim, na letra "b" nosso valor crítico será maior que 1,84.

 

Como a estatística teste é menor que o valor crítico, não rejeitamos H0. Em outras palavras, "não rejeitamos a hipótese de que as vendas não são crescentes em relação ao investimento". Alternativa correta.

 

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A letra C é obviamente errada, como vimos na análise das letras A e B foi crucial sabermos o número de graus de liberdade, para assim poder determinar o valor crítico.

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Na letra D, novamente uma redação um pouco confusa. É abordada a hipótese de "independência de vendas em relação a investimento". Assim, entendemos que na letra D estamos voltando para H0: coeficiente=0

 

Já vimos na letra B, que para o nível de significância de 5%, H0 é aceita. A letra D erra ao dizer que tal hipótese não é aceita.

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Na letra E, falamos em rejeitar H0. Para rejeitar H0, o valor da estatística teste (1,84) deve ser maior que o valor crítico. Ou seja, o valor crítico deve ser menor que 1,84.

 

Para 8 graus de liberdade, sabemos que P(t>1,84)=5,2%

 

Se o valor crítico (tc) é maior que 1,84, então:

 

P(t>tc)<5,2%

 

Assim, o nível de significância teria que ser menor que 5,2%.

 

Corrigindo a letra E:

 

os dados permitem aceitar a hipótese das vendas serem crescentes com relação ao investimento em propaganda somente a um nível de significância inferior a 4,8% 5,2%

Gabarito: Letra B