ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002

Considere o ajuste do modelo econométrico com a variável dependente defasada

onde yt é a observação da variável dependente, xt é a observação da variável exógena, α , β e γ são parâmetros desconhecidos e

onde ut é o ruído branco normal.

Sabe-se que  e que . A variável exógena se comporta propriamente, de sorte que sob a hipótese η = 0 os estimadores de mínimos quadrados ordinários, do modelo econométrico, são consistentes e assintoticamente normalmente distribuídos. Para uma amostra de tamanho 100, a abordagem dos mínimos quadrados ordinários produziu os valores 0,6 para a estimativa de β , 3/400 para sua variância e 0,8 para o coeficiente de autocorrelação de primeira ordem dos resíduos. 

Assinale a opção que dá o valor da estatística de Durbin para o teste da hipótese η = 0. 

a) 2,0 

b) 16,0 

c) 1,0 

d) 0,4 

e) 0,8

Resolução:

O teste Durbin-Watson tem como objetivo detectar a presença de correlação serial nos modelos de regressão estimados. Sob a hipótese de que o termo de erro ut, normalmente distribuído, segue um processo autorregressivo de primeira ordem, ut=ρ^ut−1+ϵt o teste consiste em testar a hipótese nula de que não há correlação serial nos erros – $H_0:\hat{\rho }=0$ – contra a alternativa de que há correlação serial – $H_a:\hat{\rho }\ne 0$. 

Para facilitar a exposição do teste, Durbin e Watson propuseram a estatística d restrita ao intervalo de 0 a 4. Valores próximos de 2 indicam que não há evidencias de que haja correlação serial nos resíduos, ao passo que valores próximos de 0 ou de 4 indicam a presença de correlação positiva ou negativa, respectivamente. Há de se ressaltar três limitações do teste d de Durbin-Watson:

a) o valor da estatística oscila em função do tamanho da amostra e da dificuldade de se deduzir com precisão a distribuição de probabilidades da estatística; 

b) o teste é valido somente para detecção de correlação serial de primeira ordem; e 

c) a estatística d de Durbin-Watson não é adequada para modelos autorregressivos que incluem a variável dependente defasada como uma das variáveis explicativas, tais como 

yt=α^+β^xt+δ^yt−1+ut

ainda que a correlação serial seja de primeira ordem.

Em função disso, Durbin reformulou o teste d para que fosse possível detectar a presença de correlação serial de primeira ordem em modelos autorregressivos como o exposto. Para diferenciar do teste d, Durbin denominou o novo teste de estatística h de Durbin definido como:

h=r^hon1−ρ^∗Var(δ^)−−−−−−−−√

em que n é o tamanho da amostra; Var(δ^) é a variância do coeficiente da variável dependente defasada e ρ^ é a estimativa de correlação serial de primeira ordem. Para grandes amostras, Durbin demonstrou que sob a hipótese nula de que H0:ρ^=0, a estatística h segue uma distribuição normal padrão assintótica, isto é: h∼N(0,1). Isto significa que para ∣h∣>1,96, rejeita-se a hipótese nula com 5% de significância.

De acordo com os dados, tem-se que: n=100, Var(ρ^)=3/400, e ρ^=0,8. Portanto:

h=0,81001−0,8∗3/400−−−−−−−−√=16

Gabarito: Letra B