Estatística

ESAF - Auditor Fiscal da Receita Federal do Brasil/Tributária e Aduaneira/2005

Uma empresa verificou que, historicamente, a idade média dos consumidores de seu principal produto é de 25 anos, considerada baixa por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua participação no mercado, a empresa realizou uma campanha de divulgação voltada para consumidores com idades mais avançadas. Um levantamento realizado para medir o impacto da campanha indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte distribuição:

Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o seguinte critério de decisão:

se a diferença

X¯¯¯¯−25 for maior que o valor 2σX÷√n então a campanha de divulgação surtiu efeito, isto é, a idade média aumentou; caso contrário, a campanha de divulgação não alcançou o resultado desejado.

Resolução:

Vamos inicialmente calcular a média. Para tanto, consideramos que cada frequência se refere ao ponto médio de classe.

Os pontos médios são:
21,5; 27,5; 32,5; 37,5.

Para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com a variável auxiliar "d":

d = \frac{x - 27, 5}{5}

Os valores de "d" são:

-1,2; 0; 1; 2

Além disso, podemos dividir todas as frequências por 5. Quando dividimos as frequências por um mesmo número, a média e a variância populacional não se alteram.

Agora calculamos a média e a variância de "d".

Iniciando pela média de "d":

A média de "d" fica:

\bar{d} = \frac{- 0, 8}{10} = - 0, 08

Lembrando que:

d = \frac{x - 27, 5}{5}

Chegamos a:

x = 5 d + 27, 5

Do que resulta:

\bar{x} = 5 \bar{d} + 27, 5

\bar{x} = 5 \times (- 0, 08) + 27, 5 = 27, 1

A média de x é 27,1. O enunciado pede para calcularmos a seguinte quantia:

\bar{x} - 25 = 27, 1 - 25 = 2, 1

Ficamos entre as alternativas A e C.

Agora calculamos a variância de "d":

Temos:

\bar{d^{2}} = \frac{11, 76}{10} = 1, 176

Logo, a variância de "d" é dada por:

σ_{d}^{2} = 1, 176 - 0, 08^{2} \approx 1, 176

Notem que o valor 0,08² é muito pequeno, por isso o desprezamos.

Usando as propriedades da variância, podemos achar a variância de x:

x = 5 d + 27, 5

σ_{x}^{2} = 25 \times σ_{d}^{2} = 25 \times 1, 176

O exercício pediu para calcularmos a seguinte quantidade:

\frac{2 \times σ_{x}}{\sqrt{n}}

Vamos chamar este valor de "k".

\frac{2 \times σ_{x}}{\sqrt{n}} = k

Elevando os dois lados ao quadrado:

\frac{4 \times σ_{x}^{2}}{n} = k^{2}

\frac{4 \times 25 \times 1, 176}{50} = k^{2}

2 \times 1, 176 = k^{2}

2, 352 = k^{2}

Estamos entre as alternativas A e C. Logo, sabemos que k vale 1,41 ou 1,53.

Vamos tomar um valor intermediário, que esteja entre 1,41 e 1,53.

Testando 1,5, temos o seguinte.

1,5 ao quadrado é 2,25, que é menor que 2,352.

Estamos procurando um número que, elevado ao quadrado, seja 2,352. Concluímos que este número deve ser maior que 1,5.

Logo, este número só pode ser 1,53.

Descartamos a letra C e ficamos com a alternativa A.

Gabarito: Letra A