FGV - Auditor Fiscal da Receita Estadual (SEFAZ RJ)/2008

Em um país, a probabilidade de um contribuinte cometer erro na declaração anual de ajuste de rendimentos aumenta na medida em que o valor do imposto final também aumenta. Estudos indicam que a probabilidade de um contribuinte cometer erro na declaração anual de ajuste (Y = 1) é expressa por meio de:

 

P(Y=1|X)=e−0,048+0,02X1+e−0,048+0,02X

onde X é um número real que representa o valor do ajuste do imposto (diferença entre o imposto pago ao longo do ano e o que deveria pagar de acordo com os rendimentos, retenções e abatimentos), em $1.000. 

  

Se X > 0, o contribuinte tem imposto devido a pagar; se X < 0, tem imposto a ser restituído; e, se X = 0, o imposto retido ao longo do ano foi igual ao imposto total devido. A esse respeito, é correto afirmar que:

a) a cada acréscimo de $1.000 no imposto, a probabilidade de o contribuinte cometer erro na declaração de ajuste aumenta em 2%. 

b) a probabilidade de a declaração de ajuste apresentar erro (Y = 1) é maior do que a probabilidade de não haver erro (Y = 0), para todos os contribuintes com X > 0. 

c) essa função de probabilidade tem seu ponto de inflexão em X = 0. 

d) o logaritmo neperiano da razão entre a probabilidade de haver erro na declaração e a de não haver é uma função linear em X, expressa por −0,048 + 0,02.X. 

e) contribuintes com imposto devido têm probabilidade 0,5 de cometer erro na declaração.

Resolução:

Alternativa A - INCORRETA. 

Sem fazer contas, isso é absurdo. Não dá para a probabilidade de erro ir aumentando de 2% em 2%, indefinidamente. Se assim fosse, bastaria termos um valor de imposto a pagar muito alto, para que a probabilidade fosse maior que 100%, o que é absurdo.

Alternativa B - INCORRETA.

Para simplificar a escrita, vou chamar e-0,048+0,02X de "k".

A probabilidade de erro é igual a:

P(Y=1|X)=k1+k

Já a probabilidade de acerto pode ser facilmente encontrada. Ou erramos a declaração, ou acertamos. Não tem outra hipótese. São eventos complementares. Logo, a probabilidade de acerto fica:

P(Y=0|X)=1−kk+1=11+k

A questão quer que a probabilidade de erro seja maior que a de acerto.

k1+k>11+k$\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; white;">k</span>}}{}$

k>1

e−0,048+0,02X>1

Agora aplicamos logaritmo dos dois lados da igualdade, para eliminarmos o expoente:

ln(e−0,048+0,02X)>ln(1)

−0,048X+0,02X>0

X>2,4

A desigualdade solicitada só ocorre para X > 2,4. Alternativa errada.

Alternativa C - INCORRETA. 

Esta alternativa deve ser pulada, por ser mais complicada que as demais.

De forma bem resumida, o ponto de inflexão de uma função é o ponto em que ela muda de côncava para convexa ou de convexa para côncava. A análise de pontos de inflexão depende do cálculo da derivada segunda da função, assunto que é visto nas cadeiras de cálculo dos cursos de graduação de exatas.

Alternativa D - CORRETA. 

A razão entre as duas probabilidades fica:

P(Y=1|X)P(Y=0|X)=k1+k11+k=k

O logaritmo desta razão é:

ln(k)=−0,048+0,02X

Que é exatamente a função indicada na alternativa.

Alternativa E - INCORRETA. 

Como vimos na alternativa B, apenas para X = 2,4 é que a probabilidade de erro se iguala à probabilidade de acerto.

Gabarito: Letra E