CESPE - Analista do Seguro Social/Estatística/2008

Um projeto do governo tinha como objetivo atrair para o sistema previdenciário uma parcela de trabalhadores que não eram contribuintes do INSS. Na ocasião em que tal projeto havia sido proposto, pelos cálculos do governo, existiam no país 19 milhões de trabalhadores com mais de 16 anos e renda mensal de um ou mais salários mínimos que não contribuíam para a previdência. Esses trabalhadores foram classificados de acordo com três perfis A, B e C, e a distribuição do número de trabalhadores em cada perfil está no quadro acima. A expectativa do governo era a seguinte: entre as pessoas com o perfil A, a probabilidade de entrada para o sistema previdenciário era de 0,8; para as de perfil B, a probabilidade de entrada para o sistema era de 0,5 e os de perfil C entrariam no sistema com uma probabilidade igual a 0,1.

Correio Braziliense, 15/11/2006, p. A-14 (com adaptações).

Ainda com relação ao texto e considerando que a probabilidade de dois trabalhadores selecionados aleatoriamente entre aqueles com o perfil A entrarem para o sistema previdenciário é igual a a, julgue o item subseqüente.

Dependendo do valor a, o desvio-padrão do número de trabalhadores do perfil A que serão atraídos para o sistema previdenciário pode ser superior a 1,5 milhão de pessoas.

Resolução:

Seja Xi a variável que assume o valor 1 se a iésima pessoa do perfil "A" entrar para o sistema previdenciário e assume o valor 0 se não entrar. Isso origina 3 milhões de variáveis aleatórias:

X1,X2,⋯,X3.000.000

Cada uma dessas variáveis tem probabilidade 0,8 de assumir o valor 1 e probabilidade 0,2 de assumir o valor 0. Assim:

E(Xi)=1×P(Xi=1)+0×P(Xi=0)

E(Xi)=1×0,8+0×0,2=0,8

Podemos também calcular a variância de Xi. Assim:

E(X2i)=12×P(Xi=1)+02×P(Xi=0)=12×0,8+02×0,2=0,8

V(Xi)=E(X2i)−E(Xi)2=0,8−0,82=0,8−0,64=0,16...(I)

Agora vamos estudar o produto XiXj, com i≠j.

P(XiXj=1)=P(Xi=1∩Xj=1)

P(XiXj=1)=α

Portanto:

P(XiXj=0)=1−α

Em seguida calculamos a esperança do produto:

E(XiXj)=1×P(XiXj=1)+0×P(XiXj=0)

E(XiXj)=1×α+0×(1−α)

E(XiXj)=α

O que nos permite calcular a covariância:

cov(Xi,Xj)=E(XiXj)−E(Xi)E(Xj)

cov(Xi,Xj)=α−0,8×0,8=α−0,64 ...(II)

Finalmente, seja Y o número de trabalhadores do perfil "A" que serão atraídos para o sistema beneficiário. Temos:

Y=∑i=13.000.000Xi

A variância de Y fica:

V(Y)=E[(Y−μY)2]

V(Y)=E{[∑i=13.000.000(Xi−μXi)]2}

V(Y)=E{∑i=13.000.000(Xi−μXi)2+∑i≠j(Xi−μXi)×(Xj−μXj)}

No segundo somatório, temos vários produtos de dois fatores. 

Quantas parcelas estão sendo somadas? 

Para a escolha da primeira parcela, temos 3 milhões de possibilidades. Para a escolha da segunda, são 2.999.999, pois há a condição de i≠j (não há reposição). Então são 3.000.000×2.999.999 fatores.

Lembrando ainda que a esperança de (Xi−μXi)2 é igual à variância de Xi e que a esperança de (Xi−μXi)×(Xj−μXj) é a covariância entre as variáveis.

Logo:

V(Y)=3.000.000×V(Xi)+3.000.000×2.999.999×Cov(Xi,Xj)

Queremos um valor de α que torne V(Y) a maior possível, para que vejamos se é possível o desvio padrão ser maior que 1,5 milhões. A partir da fórmula acima, concluímos que devemos maximizar a covariância. Mas já sabemos de (II) que a covariância é igual a α−0,64.

Além disso, α é no máximo igual a 0,80. Não é possível α ser maior que 0,80, pois, do contrário, a probabilidade de uma pessoa do perfil "A" entrar no sistema não seria de 80%.

Assim, o valor máximo para a covariância é: 0,8−0,64=0,16

Então o valor máximo para a variância de Y é:

V(Y)=3.000.000×V(Xi)+3.000.000×2.999.999×0,16

A variância de X foi calculada em (I) e vale 0,16:

V(Y)=3.000.000×0,16+3.000.000×2.999.999×0,16


V(Y)=3.000.000×0,16×(1+2.999.999)

V(Y)=3.000.0002×0,16

O desvio padrão de Y é a raiz quadrada da variância:

σY=3.000.0002×0,16−−−−−−−−−−−−−−√

σY=3.000.000×0,4=1.200.000

O valor máximo do desvio padrão é de 1.200.000. Logo, não pode ser maior que 1,5 milhão.

Gabarito: Errado