CESPE - Analista (FINEP)/Crédito e Auditoria/2009

A variável aleatória contínua x tem a função densidade de probabilidade

 

f(x)={x2, se x∈[0,b]0, se x∉[0,b]

 

 

Com base nessa informação, assinale a opção correta. 

a) O valor de b é √3

b) O valor esperado de x é b33.

$\sqrt{\mathrm{<br>}}$

c) A mediana de x é igual a (23)13

d) A variância de x é dada por b55−b816

e) É correto afirmar que P(x≥b2)=1−b316

hhhh

Resolução:

Letra A. 

Para calcular o valor de b, temos que lembrar que a área abaixo da função f(x)f(x) vale 1.

 

∫0bf(x)dx=1

 

∫0bx2dx=1

 

[x33]b0=1

 

b33=1

 

b=3–√3

 

Letra A incorreta.

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Letra B:

 

E(X)=∫b0x×f(x)dx

 

E(X)=∫b0x3dx

 

E(X)=[x44]b0

 

E(X)=b44

 

Letra B incorreta.

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Letra C: A probabilidade de X ser menor ou igual à mediana (D) é de 50%:

 

P(X≤D)=0,5

 

∫0Df(x)=0,5

 

[x33]D0=0,5

 

D33=0,5

 

D3=1,5=32

 

D=(32)13

 

Letra C incorreta.

Letra D. Vamos iniciar calculando a esperança de X2.

 

E(X2)=∫0bx2f(x)dx

 

E(X2)=∫0bx4dx

 

E(X2)=[x55]b0

 

E(X2)=b55

 

Finalmente, calculamos a variância:

V(X)=E(X2)−E(X)2

 

V(X)=b55−(b44)2

 

V(X)=b55−b816

 

 

Letra D correta.

Letra E. Primeiro vamos calcular a probabilidade do evento complementar:
 

P(X<b2)=∫0b÷2f(x)dx

 

P(X<b2)=∫0b÷2x2dx

 

P(X<b2)=[x33]b÷20

 

P(X<b2)=(b÷2)33

 

P(X<b2)=b324

 

Portanto:

 

P(X≥b2)=1−b324

 

Letra E incorreta.

Gabarito: Letra D