FGV - Analista Legislativo (SEN)/Comunicação Social, Eventos e Contatos/Estatístico/2008

Janaína ganhou de seus pais uma caixa com 12 canetas coloridas, todas com cores diferentes. Ela destampou as canetas, fechou os olhos, embaralhou as tampas e tampou-as novamente de forma aleatória. A esperança e a variância, respectivamente, do número de canetas que foram tampadas com sua tampa original são: 

a) 1 e 5/12. 

b) 1 e 11/12. 

c) 1 e 1. 

d) 6 e 3. 

e) 6 e 30.

Resolução:

Seja X1 a variável que assume o valor 1 quando a primeira caneta recebe a tampa correta e assume o valor 0 quando recebe a tampa errada.

Sejam X2, X3, ..., X12 as variáveis análogas, para as demais canetas.

X1 assume os valores 0 e 1, com probabilidades 11/12 e 1/12. Logo, sua esperança fica:

E(X1)=0×1112+1×112

E(X1)=112

Podemos também calcular a esperança de X12. 

E(X21)=02×1112+11×1112=112

E finalmente calculamos sua variância:

V(X1)=E(X21)−E(X1)2

V(X1)=112−(112)2

V(X1)=11144

Analogamente, as esperanças e as variâncias das demais variáveis são iguais a 1/12 e 11/144.

São 12 canetas. Há 12! formas de distribuirmos as tampas entre as canetas.

A quantidade de maneiras de fazermos tal distribuição, de modo que a primeira e a segunda caneta recebam suas tampas corretas, é igual a:

1×1×10!=10!

Com isso,

 P(X1=X2=1)=10!12!=111×12

Logo:

E(X1×X2)=1×111×12+0×(1−111×12)

E(X1×X2)=111×12

Assim, podemos calcular a covariância entre X1 e X2.

Cov(X1,X2)=E(X1×X2)−E(X1)×E(X2)

Cov(X1,X2)=111×12−112×12

Cov(X1,X2)=111×122

Analogamente, a covariância entre duas quaisquer variáveis Xi e Xj, com i diferente de j, vale 1/(11 x 12²). Vou designar todas estas covariâncias simplesmente por "Cov".

Finalmente, vamos para a variável Y, que designa a quantidade de canetas com tampa correta.

Y=X1+X2+X3+...+X12

E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+...+E(X12)

E(Y)=112+112+112+...+112

E(Y)=1

Já descartamos as alternativas D e E.

Continuando:

V(Y)=E(X1+X2+...+X12−μX1−μX2−...−μX12)2

V(Y)=E(X1−μX1)2+E(X2−μX2)2+...+E(X12−μX12)2+2×C12,2×Cov

Estou usando C12,2 para indicar a combinação de 12, tomados 2 a 2.

V(Y)=V(X1)+V(X2)+...+V(X12)+2×12×112×111×122

V(Y)=11×12144+112

V(Y)=1112+112=1

A esperança e a variância de Y valem 1.

Gabarito: Letra C