ESAF - Analista Técnico da SUSEP/Atuária/2010

Considere as n variáveis aleatórias iid, isto é, independentes e identicamente distribuídas X1, X2 ,..., Xn com distribuição N(μ,σ2)

Considere ainda X¯¯¯¯=$\mathrm{\Sigma }$ni = 1 Xi/n e s2 = Σni = 1 (Xi−X¯¯¯¯)2/(n−1).

Dessa maneira o quociente entre as variáveis aleatórias independentes n(X¯¯¯¯−μ)2 / σ2 e s2 / σ2 é uma variável aleatória:

a) "t" de Student com n-1 graus de liberdade. 

b) Qui quadrado com n-1 graus de liberdade dividida pelo seu número de graus de liberdade. 

c) Qui quadrado com 1 grau de liberdade. 

d) F com n-1 graus de liberdade no numerador e 1 grau de liberdade no denominador. 

e) F com 1 grau de liberdade no numerador e n-1 graus de liberdade no denominador.

Resolução:

A variável a ser analisada é:

n(X¯¯¯−μ)2σ2s2σ2

Vamos analisar isoladamente o numerador e depois o denominador.

Numerador

Vamos trabalhar um pouco no numerador:

n(X¯¯¯¯¯−μ)2σ2=
 

=(X¯¯¯¯¯−μ)2σ2÷n

=(X¯¯¯¯¯−μσ÷n√)2

Lembrando que a média amostral tem variância dada por σ2÷n e desvio padrão dado por σ÷n−−√, então ficamos com:

=(X¯¯¯¯¯−μσX¯¯¯)2

Dentro do parêntesis temos justamente a normal reduzida Z:

=Z2

A soma de "n" variáveis com distribuição normal reduzida, independentes entre si, resulta em uma distribuição de qui-quadrado com "n" graus de liberdade. Logo, Z2 tem distribuição de qui-quadrado com 1 grau de liberdade.

Denominador

O denominador pode ser reescrito assim:

s2σ2=(n−1)s2σ2×1n−1

O primeiro fator acima, dado por:

(n−1)s2σ2

Tem distribuição de qui-quadrado com "n−1" graus de liberdade. A demonstração disso (geralmente por indução finita) é um tanto quanto complicada, não vou reproduzir aqui. Mas o resultado é amplamente divulgado e utilizado, pois essa é justamente a estatística utilizada no teste de hipóteses e no intervalo de confiança para a variância.

 

Ok, voltando na variável original, temos:

n(X¯¯¯−μ)2σ2s2σ2

Ela pode ser reescrita assim:

Z2÷1(n−1)s2σ2×1n−1

No numerador temos a variável Z2, com distribuição de qui-quadrado com 1 grau de liberdade, dividida por 1.

No denominador temos a variável

(n−1)s2σ2

com distribuição de qui-quadrado com "n - 1" graus de liberdade, dividida por "n - 1".

Ou seja, temos uma fração em que:

• o numerador corresponde a uma distribuição de qui-quadrado, dividida pelo seu número de graus de liberdade

• o denominador corresponde a uma distribuição de qui-quadrado, dividida pelo seu número de graus de liberdade.

Quando isso ocorre, o resultado é uma distribuição F. No caso, ela tem 1 grau de liberdade associado ao numerador e "n - 1" graus de liberdade associados ao denominador.

Resposta: Letra E