FGV - Analista Ambiental (INEA)/Estatístico/2013

Considere uma amostra aleatória X1, X2, ..., Xn de uma distribuição geométrica

p(x) = θ(1 – θ)x, x = 0, 1, ...

O estimador de máxima verossimilhança de θ é:

a) X¯¯¯¯

b) n/X¯¯¯¯

c) 1/X¯¯¯¯

d) ∑i=1nXi

e) 1/(1+X¯¯¯¯)

Resolução:

A distribuição geométrica tem relação com a probabilidade de, em "x" experimentos de Bernoulli independentes entre si, termos "x - 1" fracassos seguidos, e 1 sucesso, nesta ordem. Deste modo, sendo θ a chance de sucesso a cada experimento, a probabilidade p(x) é dada por:

p(x)=(1−θ)x−1×θ

e isso vale para x=1,2,3,⋯

Se essa fosse a fórmula a ser trabalhada, após uma série de cálculos, chegaríamos à letra C.

Contudo, a questão trouxe uma fórmula bem diferente, deixando de subtrair 1 no expoente, o que muda completamente a resolução e nos leva à letra E, gabarito da banca.

Não briguemos com o enunciado. Vamos trabalhar com a fórmula efetivamente fornecida.

P(x)=(1−θ)x×θ

Assim, a chance de obter os valores x1, x2, ..., xn é dada por:


                                       L=P(x1)×P(x2)×⋯P(xn)

                      L=(1−θ)x1×θ×(1−θ)x2×θ×⋯×(1−θ)xn×θ

L=(1−θ)x1+x2+⋯+xn×θn

No expoente temos a soma de todas as observações. O ideal seria eu representar tal soma por ∑xi, mas, infelizmente, a visualização do editor LaTex não fica legal. Em vez disso vou chamar essa soma de "s":

L=(1−θ)s×θn

O estimador de máxima verossimilhança de θ é o valor que maximiza a função L, chamada de função de verossimilhança. Nosso trabalho é derivar L em relação a θ e igualar a 0:

dLdθ=0

Quando temos um produto de funções, digamos, f×g, a derivada fica: f′g+fg′. Ou seja: a derivada da primeira vezes a segunda, mais a derivada da segunda vezes a primeira.

No nosso caso, temos f=(1−θ)s e g=θn

Resultado:

s×(1−θ)s−1×(−1)×θn+(1−θ)s×n×θn−1=0

Dividindo todos os termos por θn−1

s×(1−θ)s−1×(−1)×θ+(1−θ)s×n=0

Dividindo todos os termos por (1−θ)s−1

s×(−1)×θ+(1−θ)×n=0

                                                         −sθ+n−nθ=0

                                                    sθ+nθ=n

                                                  θ×(s+n)=n

θ=ns+n

θ=ns+n

Do lado direito da igualdade, dividimos todos os termos por "n":

θ=1sn+1

Lembrando que "s" é a soma de todas as observações. Assim, dividindo "s" por "n" temos justamente a média amostral:

θ=1X¯¯¯¯¯+1

Gabarito: E