FGV - Auditor Fiscal da Receita Estadual (SEFAZ RJ)/2011

Uma firma possui a seguinte função de produção: Q = XY. O custo total da firma é dado pela função 10X + 20Y + 200. Em um ambiente em que a firma minimiza os seus custos para produzir 200 unidades, o custo mínimo é de

a) 400. 

b) 300. 

c) 500. 

d) 700. 

e) 600.

Resolução:

Para resolver essa questão, você precisará lembrar que as expressões que aqui estão são de uma iscocusto e de uma isoquanta.

Além disso, aqui, você precisará da noção de derivada para poder resolver a questão.

Vamos ver como isso é possível.

Veja que a questão, embora nos forneça o custo da empresa, pede para saber qual será o custo mínimo em função da quantidade produzida. Nesse caso, 200 unidades.

Trazendo as expressões, temos o seguinte:

precisamos minimizar 10X + 20Y + 200
Sujeito a Q = XY

Ora, mas a questão afirma que Q=200
Subsituindo na fórmula, temos o seguinte:

precisamos minimizar 10X + 20Y + 200
Sujeito a 200 = XY

Para facilitar a nossa compreensão, vamos colocar, na restrição da isoquanta, X como uma função de Y (logicamente, você poderia fazer o inverso).

Nesse caso, X = 200/Y

Substituindo o valor de X na isocusto, temos o seguinte:

10*(200/Y) + 20Y + 200
ou
2000Y-1 + 20Y + 200

Como nós estamos em busca do custo mínimo, temos que derivar a expressão acima e igualar o resultado a zero. Dessa forma:

-2000Y-2 + 20 = 0
Y-2 = 20/2000
Y-2 = 1/100
Y = 10

Agora que nós já temos o valor de Y, encontrar o valor de X não é difícil.

Substituindo na isoquanta, temos o seguinte valor:

X = 200/10
X = 20

Agora, para encontrar o valor do custo mínimo, basta substituir os valores de X e Y no custo dado na questão.

Dessa forma:

10*20 + 20*10 + 200 = 600, exatamente como mostrado na letra (E).

Gabarito: Letra E