CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013

Considere que, em um modelo CAPM, o consumidor tenha um horizonte de tempo T e pretenda maximizar a função utilidade esperada apresentada a seguir:

E[∑T−1t=0(1+θ)tU(ct)|0]  $(1)$

Em que: E(.|t) é a expectativa condicional, dadas as informações disponíveis no instante t$t$; θ é a taxa de preferência intertemporal.

Considere, ainda, que, no instante t$t$, o consumidor decida alocar sua riqueza em qualquer dos n$n$ ativos arriscados existentes na economia, cujo retorno (líquido) estocástico é dado por zit, com i=1, ..., $n$, e que exista um ativo livre de risco com retorno rt.

Considere, por fim, que as condições de primeira ordem para o problema do consumidor sejam descritas por

U′(ct)=(1+θ)−1E[U′(ct+1)(1+zit)|t]    i=1,...,n    (2)

U′(ct)=(1+θ)−1(1+rt)E[U′(ct+1)|t]   (3)

Com base nesse conjunto de informações, julgue o item seguinte.

Considere que exista um ativo composto m com retorno perfeitamente negativamente correlacionado com U′(ct+1), de modo que U′(ct+1)=γZmt, para algum γ>0$\gamma >0$. Nessas circunstancias, E[Zit]=rt+β[E[Zmt−rt]], em que β=cov(zitzmt)var(Zmt).

Resolução:

Questão que versa sobre o modelo CAPM.

 

Questão muito difícil, pessoal!

 

E está certa.

 

Aqui, além do desenvolvimento necessário apenas para esta questão, era preciso ter todo o desenvolvimento das duas anteriores.

 

Então, vamos até a última equação da questão anterior desta mesma prova:

 

Tenhamos em mente que o que muda da equação 2 para a 3 é que, como taxa de retorno ativo livre de risco é conhecida no instante t, ela pode ser tirado da expectativa condicional, resultando na equação 3.

 

Ou seja, tiramos (1+rt) da expectativa condicional porque conhecemos seu retorno no instante t.

 

Sabemos também que o agente deve  consumir de maneira que sua utilidade marginal seja igual à sua utilidade marginal descontada no próximo período.

 

Ou seja, temos que necessariamente as derivadas destas equações são iguais a zero.

 

Portanto, se substituirmos 2 em 3, teremos que:

 

E[U′(ct+1)(zit−r0t)]=0

 

Calculando a covariância entre o ativo com a utilidade do consumo, teremos:

 

cov[U′(ct+1,zit]=E[U′(ct+1)(zit−r0t)]−E[U′(ct+1)]E[U′(zit−r0t)]

 

E[U′(ct+1)]E[U′(zit−r0t)]+cov[U′(ct+1,zit]=0           i=i,2,....,n.

 

Assim, o retorno esperado do ativo i no equilíbrio satisfaz a seguinte equação:

 

E[zit=r0t−cov[U′(ct+1,zit]E[U′(ct+1)]=0        i=i,2,....,n.

 

E aqui podemos seguir em frente para as próximas equações, considerando agora um ativo composto m perfeitamente negativamente correlacionado com a utilidade marginal do consumo do agente.

 

Tomando um ativo m negativamente correlacionado com U'(c_{t+1}), para qualquer ativo com risco (ex. U'(c_{t+1}) = -yz{mt}, para qualquer y positivo):

 

cov[U'(c_{t+1},z_{it}] = -ycov(z_{mt},z_{it}

 

Ainda para o ativo m, a equação anterior a essa implica que:

 

E[zit=r0t−cov[U′(ct+1,zit]E[U′(ct+1)]=r0t+yvar(rmt)E[U′(ct+1)]

 

Se substituirmos essas duas últimas equações na antepenúltima, teremos que:

 

E[Zit]=rt+cov(zitzmt)var(Zmt)[E[Zmt−rt]

 

E[zit=r0t−cov[U′(ct+1,zit]E[U′(ct+1)]=0 

Gabarito: Certo