PETROBRAS - 2012 - Prova de economia Questão 30

30 - As variáveis X1 e X2 caracterizam os preços, em reais, que dois produtos, produto do tipo 1 e produto do tipo 2, respectivamente, terão amanhã. Tais preços seguem uma distribuição normal bivariada com E(X1) = 10, E(X2) = 25, Var(X1) = 2, Var(X2) = 1 e Cov(X1,X2) = 2.

Se oito produtos do tipo 1 e dois produtos do tipo 2 serão comprados amanhã, qual é o intervalo de confiança com nível de significância de 5% para o custo dessa compra?

(A) [107,48; 152,52]
(B) [113,84; 146,16]
(C) [116,14; 143,86]
(D) [106,90; 153,10]
(E) [102,56; 157,44]

Resolução:

Vamos começar calculando o valor esperado do conjunto:

E(X1) x quantidade de X1 + E(X2) x quantidade de X2

10x8 + 25x2 = 130

Vamos calcular a variância do conjunto:

Var(X1,X2) = Var(nX1) + Var(nX2) + 2 x quantidade de X1 x quantidade de X2 x Cov(X1,X2)

O n que está multiplicando a Variância de X1 e X2 sai ao quadrado.

Var(X1,X2) = 64x2 + 4x2 + 2x8x2x2

Var(X1,X2) = 196

Com 5% de confiança nos descobrimos, olhando a tabela, que o valor Z é 1,96

Para um intervalo de confiança nos usamos a fórmula: média + Desvio padrão x Z

130 + 14x1,96 = 157,44

Como a curva é simétrica basta realizar a operação contraria descobrir o outro valor.

130 - 14x1,96 = 102,56

O intervalo de confiança com 5% é: [102,56; 157,44]

Gabarito: Letra E