PETROBRAS - 2012 - Prova de economia Questão 32

32 - Sejam Xn e Yn as médias de duas amostras de mesmo tamanho n retiradas de duas populações independentes. A média Xn é obtida de uma população normal com média 5 e variância 1; já a média Yn é obtida de uma população normal com média 5 e variância 2.
 

Qual o tamanho mínimo n, de cada amostra, necessário para que as duas médias amostrais difiram por menos de 0,5 com 95% de probabilidade?

(A) 12
(B) 16
(C) 33
(D) 46
(E) 58

Resolução:

A formula para o tamanho da amostra é: n = [(z.dp)/e]^2

Não sabemos o n.

O valor de z, com 95% de probabilidade, é 1,96.

Vamos calcular o dp (desvio padrão).

Var(X,Y) = n^2(VarX) + n^2(VarY) + 2.nx.ny.Cov(X,Y)

Como o enunciado diz que as variáveis são independentes, sabemos que a convariância entre elas é 0. Lembrando que o contrário não é valido, ou seja, se a convariância entre elas for 0 não significa que elas sejam independentes. 

Então, temos que: 

Var (x + y) = Var(x) + Var(y) - 2(Cov X,Y)

Var (x + y) = 2 + 1 - 0 = 3

O tamanho da amostra será:

n = [(z.dp)/e]^2

n = [(1,96.1,73205)/0,5]^2

n =  46

Gabarito: Letra D