BNDES (2013) - ECONOMISTA - QUESTÃO 50

50 -  Considere uma amostra aleatória de uma população normal com média μ e variância σ2 desconhecidas. Nesse contexto, considere as afirmativas abaixo.

I - O estimador de máxima verossimilhança de σ² é não viesado.

II - O estimador pelo método dos momentos de σ² é viesado, mas não viesado assintoticamente.

III - O estimador pelo método dos momentos de μ é não viesado.

Está correto o que se afirma em

(A) I, apenas 

(B) III, apenas 

(C) I e II, apenas 

(D) II e III, apenas 

(E) I, II e III

Resolução:

Vamos analisar cada alternativa.

I -

O estimador de máxima verossimilhança de σ² é dado pela equação:

O estimador de σ² é viezado para amostras pequenas, pois estamos dividindo por n e não por n-1, como seria o caso do estimador não tendencioso da variância. Para amostras grandes, contudo o viés torna-se irrelevante. 

Como a questão não comenta o tamanho da população, é sensato considerar a afirmativa falsa.

II -

Você sabe o que quer dizer ''não viesado assintoticamente''?

É bem simples. A medida que a amostra cresce, o estimador (nesse caso viesado) aproxima-se do valor verdadeiro, ou seja, ele deixa de ser viesado.

Como exemplo, considere a seguinte mensuração da variância amostral de uma variável aleatória X:

Pode-se demonstrar que

em que σ² é a verdadeira variância. É óbvio que, em uma amostra pequena, S² é viesado, mas à medida que n cresce indefinidamente, E(S²) aproxima-se do verdadeiro σ²; portanto, é assintoticamente não viesado.

Assim como na afirmativa I, consideramos o tamanho da amostra pequeno.

III - 

Essa uma característica do modelo.

Um estimador qualquer, como por exemplo Ῡ, é chamado de estimador não tendencioso (não viesado) de Y se o valor esperado de Ῡ for igual ao verdadeiro Y; isto é:

E(Ῡ) = Y

ou

E(Ῡ) - Y =0

Se essa igualdade não se sustenta, o estimador é conhecido como viesado, e o viés é calculado como:

viés (Ῡ) = E(Ῡ) - Y

Gabarito: Letra D