STN - 2013 - Questão 12

12 - Com relação à teoria da Probabilidade, pode-se afirmar que:

a) se A e B são eventos independentes, então P(A ∪ B)= P(A) + P(B)

b) se A, B e C são eventos quaisquer com P(C) ≠ 0, então P(A∪B|C)= P(A|C) + P(B|C)

c) a definição frequentista de probabilidade é fundamentada na ideia de repetição do experimento.

d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, P(A∩B∩C) = P(A).P(B).P(C)

e) P(A)+P(A¯¯¯¯)=0

Resolução:

Alternativa A - INCORRETA

A alternativa tentou confundir o candidato, trazendo a situação de eventos mutuamente excludentes, em vez de independentes.

Relembrando:

Eventos Independentes → Probabilidade da interseção é o produto das probabilidades →

Eventos mutuamente excludente → Probabilidade da interseção é nula →

Alternativa B - INCORRETA

Vejamos um contraexemplo. No lançamento de um dado de seis faces, considere:

Agora, calculamos as probabilidades:

Finalmente, vamos para o cálculo pedido na questão:

Os dois resultados são diferentes, mostrando que a igualdade dada na alternativa não vale.

O resultado apresentado na alternativa valeria se os eventos A e B fossem mutuamente excludentes. Daí teríamos:

Se A e B são mutuamente excludente, sua interseção é nula. Logo:

E ai sim valeria o resultado dado na alternativa.

No contra exemplo trabalhado anteriormente, fizemos com que A e B não fossem mutuamente excludentes, de modo que a passagem destacada com o (*) não vale mais.

Alternativa C - CORRETA

Exatamente isso. 

Alternativa D - INCORRETA

Se estivéssemos diante de apenas dois eventos, a alternativa seria correta. Ou seja, A e B são eventos independentes se, e somente se:

Para três eventos isso não vale mais, não podemos usar mais o conectivo ''se e somente se''. Lembre-se de que esse conectivo indica condição necessária e suficiente.

Ou seja, é correto afirmar que:

Se A, B e C são independentes, então:

Contudo, a volta não vale. Não é correto dizer que, se 

então os eventos são independentes. Por isso não podemos usar o ''se e somente se''.

A definição correta seria: A,B e C são independentes se, e somente se, 

Quando apenas as três primeiras condições ocorrem, dizemos que os eventos são mutuamente independentes. É possível que os eventos são mutuamente independentes, sem serem completamente independente.

Quando apenas a terceira condição ocorre, não há qualquer relação especial entre os eventos, pode ter sido simples coincidência.

Exemplo:

Considere 100 bolas numeradas de 1 a 100. Vamos retirar aleatoriamente uma das bolas. Sejam:

Notem que:

Logo, a probabilidade deste evento é 1/100. Vejam ainda que, coincidentemente,

A probabilidade da interseção foi igual ao produto das probabilidades. Mas os eventos não são independentes. O fato de B ocorrer altera a probabilidade de A. O fato de A ocorrer altera a probabilidade de C. E assim por diante.

Alternativa E - INCORRETA

A soma das probabilidades de um evento com a probabilidade do evento complementar é sempre 100%, e não igual a 0.

Gabarito: C