STN - 2013 - Questão 16

16 - Uma população X é constituída de 10 diferentes valores ─ x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 e x10 ─, na qual E(X) = μ, e σ²(X) = σ². Desta população foram retiradas, com reposição, todas as possíveis amostras de tamanho 3, onde a1, a2 e a3 representam, respectivamente, o primeiro, o segundo e o terceiro elemento de cada uma das amostras. Desse modo, pode-se afirmar que: 

a) o número total de amostras de tamanho 3 é igual a 720. 

b) E(a1) = E(a2) = E(a3) = μ. 

c) a média aritmética das médias amostrais é igual a μ/3. 

d) a média aritmética das variâncias amostrais é igual a σ². 

e) a média aritmética das médias amostrais é um estimador tendencioso de μ.

Resolução:

Alternativa A: Incorreta

Para cada uma das extrações, temos 10 possibilidades. Aplicando o princípio fundamental da contagem, concluímos que o número total de amostras é:

10x10x10=1000

Alternativa B: Correta

A média populacional é assim calculada:

Bastou multiplicar cada valor possível pela sua probabilidade, e depois somar.

A variável aleatória a1 pode assumir qualquer valor entre: x1,x2,...,x10. Tais valores têm probabilidades p(x1), p(x2),.....,p(x10). O resultado é que a média de a1 será exatamente idêntica à média populacional. Isso porque ela pode assumir os mesmos valores, com as mesmas probabilidades.

O mesmo raciocínio vale para a2 e a3.

Alternativa C: Incorreta

A média amostral é um estimador não tendencioso da média populacional. Assim, a ''média das médias'' é justamente igual a μ.

Alternativa D: Incorreta

A variância amostral pode ser calculada de formas diferentes entre si. A mais comum é usando ''n-1'' no denominador. Nesse caso, a variância amostral é um estimador não tendencioso da variância populacional. Logo, sua média é exatamente igual ao parâmetro estimado (σ²). Desse modo, a alternativa estaria correta.

Como a banda deu a alternativa como incorreta, ela só pode estar considerando o cálculo da variância com ''n'' no denominador. No caso de uma população com distribuição normal, esse cálculo resulta de máxima verossimilhança da variância. Esse estimador, contudo, é viciado. A média das variâncias amostrais não resulta na variância populacionais.

Alternativa E: Incorreta

O estimador é baseado em uma única amostra (média de uma amostra, não de todas as amostras). A média amostral é um estimador não tendencioso de μ.

Gabarito: Letra B