BACEN - 2010 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS - ÁREA 2 - QUESTÃO 15

15 - Seja uma série estacionária yt, caracterizada por um processo autorregressivo de ordem um [AR(1)]: 

yt – θyt−1 = εt 

onde εt é um processo estocástico do tipo ruído branco e θ> 0. 

Sabendo-se que θ = (1 - 2λ)/(λ - 1), sendo λ um número real, tem-se que 

(A) 1/2 < λ < 2/3

(B) 1/2 < λ < 1

(C) λ < 2/3 ou λ ≠ 1

(D) λ < 1 ou λ ≠ 2/3

(E) 2/3 < λ < 1

Resolução:

Pessoal, vamos por partes! O exercício te disse que o processo é um AR(1) estacionário, portanto, a condição para isso é:

-1 < θ < 1

Mas, o exercício já te diz que θ > 0, então:

0 < θ < 1

Agora que a vaca vai pro brejo! Como calcular isso? Você precisa de duas condições:

Agora, cabe avaliar tais inequações! Quais as condições que λ tem de assumir para ambas serem verdade?

Vamos começar com a equação (1):

Para que isso seja verdade precisamos de uma das duas condições:

(1 - 2λ) > 0 e (λ - 1) > 0

Ou:

(1 - 2λ) < 0 e (λ - 1) < 0

Isso deriva do fato de que na primeira condição o numerador e o denominador são positivos, gerando resultado positivo, enquanto que na segunda ambas as expressões são negativas, gerando resultado negativo.

Para resolver isso, primeira coisa que você tem que fazer é encontrar as raízes de cada uma destas expressões, ou seja, pegue cada uma das expressões (numerador e denominador separadamente), iguale a zero e resolva em função de λ. Vamos lá:

Estes são os valores “limites” e, a partir deles, você vai definir se a expressão como um todo é negativa ou positiva! Assim, você deverá fazer uns testes para valores de

Vamos tentar:

• Se λ < 1/2, o numerador será positivo, enquanto que o denominador será negativo! Isso gera um total negativo! Tente 1/3 para você ver!

• Se 1 > λ > 1/2, o numerador e o denominador serão negativos, gerando o resultado que queremos! Tente λ = 0,9.

• Se λ > 1, o numerador será negativo e o denominador será positivo, gerando resultado negativo! Tente λ = 3!

Viram como realizar a análise da inequação? Vamos fazer isso para a segunda condição:

Vamos isolar toda inequação:

O que gera:

Assim:

Atenção, veja que agora queremos que o conjunto das expressões nos forneça um resultado negativo e não positivo, como no caso anterior. Agora, é só fazer a mesma análise anterior. As raízes dos polinômios são:

2 - 3λ = 0 → λ = 2/3

E:

λ - 1 = 0 → λ = 1

Ao analisar as expressões, precisamos avaliar o sinal da expressão sob as condições λ < 2/3, 1 > λ > 2/3 e λ > 1. Assim:

• Se λ < 2/3, o numerador será positivo, enquanto que o denominador será negativo! Isso gera um total negativo, gerando resultado que queremos! Tente 1/3 para você ver!

• Se 1 > λ > 2/3, o numerador e o denominador serão negativos. Tente λ = 0,9.

• Se  λ > 1, o numerador será negativo e o denominador será positivo, gerando resultado negativo, gerando o resultado que queremos! Tente  λ = 3.

Portanto, as condições encontradas são:

1)  λ < 2/3
2)  λ > 1
3) 1 >  λ > 1/2

Agora é só pensar! Qual é a alternativa que preenche as duas condições? A intersecção das duas condições, ou seja, a condição que faz com que ambas sejam verdadeiras! Portanto:

2/3 > λ > 1/2

Resolução: Letra A