SUSEP/ESAF/2001

Tem-se duas amostras independentes ambas de tamanho 21 de duas populações normais com a mesma variância σ2 > 0. Deseja-se construir um intervalo de confiança para σ2, no nível de 95%, com base numa estimativa combinada das variâncias amostrais s1² = 0,4 e s2² = 0,6 . Se 0< a < b são duas constantes tais que P{X<a} = 0,025 e P{X>b} = 0,025, onde X tem distribuição qui-quadrado, assinale a resposta que corresponde ao intervalo procurado e ao número de graus de liberdade da distribuição de X. 

(A) [17/b; 17/a] e 20 graus de liberdade

(B) [5/3b; 5/2a] e 40 graus de liberdade 

(C) [17/b; 17/a] e 41 graus de liberdade 

(D) [20/b; 20/a] e 40 graus de liberdade 

(E) [5/3b; 5/2a] e 20 graus de liberdade

Resolução:

Esta questão pede que o(a) candidato(a) determine: i) o intervalo de confiança ao nível de 95% da variável aleatória X que possui distribuição qui-quadrado e ii) o número de graus de liberdade de X. 

Do enunciado, depreende-se que X é resultante da combinação das estatísticas s1² e S2². 

A estimativa combinada das variâncias amostrais S1² = 0,4 e s2² = 0,6 é dada por

a qual possui (n1 + n2 – 2) = 21 + 21 – 2 = 40 graus de liberdade ⇒ este fato, por si só, já elimina as alternativas A, C e E. 

O intervalo de confiança de σ 2 é dado pela fórmula

A fórmula acima pode ser generalizada para o problema em questão como

em que  n = n1 + n2.

O enunciado forneceu os qui-quadrados superior e inferior:

Portanto,

Gabarito: Letra D