Macroeconomia - Teoria
Crescimento de Solow
Para você que tem familiaridade com o modelo e gostaria de uma explicação mais resumida, experimente clicar AQUI!
Caso queira uma explicação mais detalhada, basta continuar lendo!
Vamos???
#Partiu
O modelo de Solow tem três pilares: estoque de capital, força de trabalho e nível tecnológico.
Esses pilares vão determinar a produção total da economia e seu crescimento.
Para facilitar, vamos começar partindo do pressuposto que a força de trabalho e o nível tecnológico são fixos.
Hoje eu to bonzinho!
Oferta e demanda de bens
A oferta de bens, no modelo de Solow, é baseada na função de produção, que declara que a produção depende do estoque de capital e força de trabalho. Isso pode ser escrito como:
Y = F(K,L)
O modelo de crescimento de Solow parte do pressuposto de que a função de produção apresenta retornos constantes de escala.
"O que é mesmo retornos constantes de escala?"
É quando a multiplicação dos fatores de produção aumenta o produto final no mesmo montante. Se você tiver 2 pessoas trabalhando para você e 2 equipamentos para que eles possam produzir, sua produção será de 2. Se você dobrar sua força de trabalho e seus equipamentos (4 pessoas e 4 maquinas), sua produção também irá dobrar (nesse caso, para 4).
Podemos escrever isso da seguinte forma:
zY = F(zK,zL)
Onde z é o valor positivo que você multiplicou seu capital e sua mão de obra.
Agora, vamos colocar o trabalhador em evidência. Isso porque queremos saber o quanto cada trabalhador está contribuindo para o produto final.
"Como é que eu faço isso?"
Simples. Vamos dividir a equação Y = F(K,L) por L. Isso vai nos dizer o quanto cada trabalhador está contribuindo para o produto final.
Y/L = F(K/L, L/L) =
Y/L = F(K/L, 1)
O que podemos aprender com essa equação?
"Sei lá"
Vamos por parte.
Essa equação demonstra que a quantidade de produto por trabalhador (Y/L) é uma função do montante de capital por trabalhador (K/L). O número 1 é constante e por isso pode ser ignorado.
O pressuposto de retornos constantes de escala implica que o tamanho da economia - mensurada com base no número de trabalhadores - não afeta a relação entre produção por trabalhador e capital por trabalhador.
"Como assim o tamanho da economia não afeta a relação entre produção por trabalhador e capital por trabalhador?"
Vamos com um exemplo que tudo fica mais fácil.
Imagine uma economia que tem um PIB de 100 e 100 trabalhadores. Qual o produto per capita?
Y/L = 100/100 = 1
Agora imagina uma economia com PIB de 50 e 10 trabalhadores. Qual o produto per capita?
Y/L = 50/5 = 10
Percebeu que apesar da segunda economia ser menor que a primeira, ela possui um produto por trabalhador maior?
O que nos interessa é essa taxa de produto por trabalhador. Não o tamanho da economia.
Uma vez que o tamanho da economia não é importante, será conveniente representar todos os valores em termos de cada trabalhador individual. Indicamos esses montantes por trabalhador individual com o uso de letras minúsculas, de maneira tal que y = Y/L corresponde à produção por trabalhador, e k = K/L corresponde ao capital por trabalhador.
Vamos escrever a função de produção usando essa nova notação:
Y/L = F(K/L, 1)
y = F(k,1)
y = f(k)
Vamos dar uma olhada como essa função se comporta em um gráfico.
A inclinação dessa função de produção mostra a quantidade de produção adicional que um trabalhador produz, quando considerada uma unidade adicional de capital. Essa quantidade corresponde à produtividade marginal do capital, PMgK. Em termos matemáticos:
PMgK = f(k+1) - f(k)
Olhe no gráfico com atenção!
À medida que a quantidade de capital aumenta, a função de produção vai se tornando mais aplainada, sinalizando que a função de produção apresenta uma produtividade marginal decrescente para o capital.
Imagine que você tem um quiosque no shopping.
Nele você tem um funcionário e um liquidificador para fazer sucos (que você vende). Ele gera uma renda de 3.
Então você resolve comprar mais um liquidificador.
Este mesmo funcionário vai gerar uma renda de 5.
Se você comprar um terceiro liquidificador, a sua renda vai continuar sendo 5. Isso porque o seu funcionário não é um polvo e não tem como trabalhar com três liquidificadores.
É exatamente isso que o gráfico mostra. Na medida em que você começa a comprar mais capital (liquidificador) por trabalhador, a função de produção cresce até um ponto e depois estabiliza.
Veja o exemplo na equação que coloquei acima:
PMgK = f(k+1) - f(k)
PMgK = 5 - 3
PMgK = 2
Esta seria logo após você comprar o segundo liquidificador.
PMgK = f(k+1) - f(k)
PMgK = 5 - 5
PMgK = 0
Esta seria logo após comprar o terceiro liquidificador.
Percebeu como o PMgK diminui à medida em que o estoque de capital por trabalhador aumenta.
A Demanda por Bens e a Função de Consumo
A demanda por bens, no modelo de Solow, deriva do consumo e do investimento. Em outras palavras, a produção por trabalhador, y, é dividida entre consumo por trabalhador, c, e investimento por trabalhador i:
y = c + i
Nada novo certo?
Pense que se você tem seu salário, aquilo que você não gastou durante o mês, vai virar investimento. Tenha isso me mente: a produção é igual a consumo + investimento.
O modelo de solow parte do pressuposto que as pessoas consomem uma parte de sua renda e poupam a outra parte. Vamos chamar a poupança de s.
Logo o consumo é igual a:
c = (1-s)y
Se você tem um salário de 1000 reais e poupa sempre 50% do que ganha, qual é seu consumo?
c = (1-0,5) x 1000
c = 0,5 x 1000
c = 500
s sempre vai ter um valor entre zero e 1.
Vamos brincar um pouco com as equações que escrevemos acima.
Sabemos que a renda é a soma do consumo mais o investimento.
y = c + i
Sabemos também que a função consumo depende do quanto s representa na renda, ou seja, quanto as pessoas estão dispostas a poupar de sua renda.
c = (1-s)y
Agora vamos substituir o valor c na equação da renda.
y = (1-s)y + i
i = sy
Sabe o que quer dizer essa equação?
Isso mesmo!
Que a poupança é igual ao investimento.
"....., tudo isso para chegar nessa equação...."
PARA TUDO!
O que sabemos até agora?
Sabemos que a função de produção é relacionada com a quantidade de capital e trabalho de sua economia.
Sabemos que a função consumo depende de s (poupança) que é igual ao investimento.
Esses são os dois principais ingredientes do modelo de Solow.
Para um estoque específico de capital per capita, k, a função de produção per capita, y = f(k), determina a quantidade de produção da economia.
A taxa de s vai determinar como essa produção vai ser distribuída entre consumo e investimento.
Lembra-se: daqui para a frente vamos nos referir a função de produção sempre na forma PER CAPITA. As letras minusculas vão nos ajudar a simplificar as explicações:
y = Y/L
k = K/L
Hora de fazer uma pausa!
Alongar o corpo, beber um pouco de água, abrir a janela e gritar alto para acorda os vizinhos...
Qualquer coisa para relaxar uns 5 minutos antes de seguir.
CRESCIMENTO NO ESTOQUE DE CAPITAL E O ESTADO ESTACIONÁRIO
Como fazer a produção aumenta?
Sabemos que a produção é uma função do capital per capita.
y = f(k)
"Fácil! Basta amentar k!"
Isso!
O nível de capital sofre influencia de duas força: o investimento e a depreciação.
O investimento aumenta o nível de capital da sua economia.
A depreciação, diminui.
Investimento refere-se ao dispêndio com novas instalações e novos equipamentos, e faz com que o estoque de capital cresça.
Depreciação refere-se ao desgaste gradativo do capital antigo, e acarreta um decréscimo no estoque de capital.
Já sabemos que o investimento por trabalhador é igual a poupança por trabalhador.
Ao substituir y pela função de produção, seremos capazes de expressar o investimento por trabalhador, sob a forma de uma função do estoque de capital por trabalhador:
y = f(k)
i = sy
substituindo y temos:
i = sf(k)
Essa equação relaciona o estoque de capital existente, k, à acumulação de novo capital, i.
A figura abaixo mostra essa relação.
"Ta meio confuso..."
Vamos deixar mais fácil então.
Eu quero que você preste atenção no gráfico e perceba alguns pontos.
Na medida em que o capital por trabalhador aumenta, k, a produção por trabalhador aumenta. Isso porque ja vimos que:
y = f(k)
A taxa de poupança, s, determina a divisão entre consumo e investimento. Se uma economia tiver uma alta taxa de s, a quantidade de capital por trabalhador irá aumentar e consequentemente a produção também.
Para um nível qualquer de k, a produção corresponde a f(k).
O investimento corresponde a sf(k). Isso porque:
y = f(k)
i = sy
i = sf(k)
E o consumo? Como fica o consumo?
Você sabe?
"O consumo é igual a produção menos o investimento (poupança)?"
Isso mesmo!
O consumo é: f(k) - sf(k)
É isso que o gráfico mostra.
Vamos incorporar a depreciação.
Vamos partir do pressuposto que uma parte do capital se deprecia a cada ano. Vamos chamar de δ.
δ vai representar a taxa de depreciação.
Exemplo, se você comprar um carro e este carro se depreciar 10% ao ano, qual vai ser sua taxa de depreciação?
"δ = 0,1"
Isso!
Então podemos dizer que o montante de capital que se deprecia a cada ano é:
δk
Podemos expressar o impacto do investimento e da depreciação sobre o estoque de capital com a seguinte equação:
Variação no Estoque do Capital = Investimento - Depreciação
Δk = i - δk
Como:
i = sf(k)
Podemos escrever:
Δk = sf(k) - δk
A demanda por bens, no modelo de Solow, deriva do consumo e do investimento. Em outras palavras, a produção por trabalhador, y, é dividida entre consumo por trabalhador, c, e investimento por trabalhador i:
y = c + i
Nada novo certo?
Pense que se você tem seu salário, aquilo que você não gastou durante o mês, vai virar investimento. Tenha isso me mente: a produção é igual a consumo + investimento.
O modelo de solow parte do pressuposto que as pessoas consomem uma parte de sua renda e poupam a outra parte. Vamos chamar a poupança de s.
Logo o consumo é igual a:
c = (1-s)y
Se você tem um salário de 1000 reais e poupa sempre 50% do que ganha, qual é seu consumo?
c = (1-0,5) x 1000
c = 0,5 x 1000
c = 500
s sempre vai ter um valor entre zero e 1.
Vamos brincar um pouco com as equações que escrevemos acima.
Sabemos que a renda é a soma do consumo mais o investimento.
y = c + i
Sabemos também que a função consumo depende do quanto s representa na renda, ou seja, quanto as pessoas estão dispostas a poupar de sua renda.
c = (1-s)y
Agora vamos substituir o valor c na equação da renda.
y = (1-s)y + i
i = sy
Sabe o que quer dizer essa equação?
Isso mesmo!
Que a poupança é igual ao investimento.
"....., tudo isso para chegar nessa equação...."
PARA TUDO!
O que sabemos até agora?
Sabemos que a função de produção é relacionada com a quantidade de capital e trabalho de sua economia.
Sabemos que a função consumo depende de s (poupança) que é igual ao investimento.
Esses são os dois principais ingredientes do modelo de Solow.
Para um estoque específico de capital per capita, k, a função de produção per capita, y = f(k), determina a quantidade de produção da economia.
A taxa de s vai determinar como essa produção vai ser distribuída entre consumo e investimento.
Lembra-se: daqui para a frente vamos nos referir a função de produção sempre na forma PER CAPITA. As letras minusculas vão nos ajudar a simplificar as explicações:
y = Y/L
k = K/L
Hora de fazer uma pausa!
Alongar o corpo, beber um pouco de água, abrir a janela e gritar alto para acorda os vizinhos...
Qualquer coisa para relaxar uns 5 minutos antes de seguir.
CRESCIMENTO NO ESTOQUE DE CAPITAL E O ESTADO ESTACIONÁRIO
Como fazer a produção aumenta?
Sabemos que a produção é uma função do capital per capita.
y = f(k)
"Fácil! Basta amentar k!"
Isso!
O nível de capital sofre influencia de duas força: o investimento e a depreciação.
O investimento aumenta o nível de capital da sua economia.
A depreciação, diminui.
Investimento refere-se ao dispêndio com novas instalações e novos equipamentos, e faz com que o estoque de capital cresça.
Depreciação refere-se ao desgaste gradativo do capital antigo, e acarreta um decréscimo no estoque de capital.
Já sabemos que o investimento por trabalhador é igual a poupança por trabalhador.
Ao substituir y pela função de produção, seremos capazes de expressar o investimento por trabalhador, sob a forma de uma função do estoque de capital por trabalhador:
y = f(k)
i = sy
substituindo y temos:
i = sf(k)
Essa equação relaciona o estoque de capital existente, k, à acumulação de novo capital, i.
A figura abaixo mostra essa relação.
"Ta meio confuso..."
Vamos deixar mais fácil então.
Eu quero que você preste atenção no gráfico e perceba alguns pontos.
Na medida em que o capital por trabalhador aumenta, k, a produção por trabalhador aumenta. Isso porque ja vimos que:
y = f(k)
A taxa de poupança, s, determina a divisão entre consumo e investimento. Se uma economia tiver uma alta taxa de s, a quantidade de capital por trabalhador irá aumentar e consequentemente a produção também.
Para um nível qualquer de k, a produção corresponde a f(k).
O investimento corresponde a sf(k). Isso porque:
y = f(k)
i = sy
i = sf(k)
E o consumo? Como fica o consumo?
Você sabe?
"O consumo é igual a produção menos o investimento (poupança)?"
Isso mesmo!
O consumo é: f(k) - sf(k)
É isso que o gráfico mostra.
Vamos incorporar a depreciação.
Vamos partir do pressuposto que uma parte do capital se deprecia a cada ano. Vamos chamar de δ.
δ vai representar a taxa de depreciação.
Exemplo, se você comprar um carro e este carro se depreciar 10% ao ano, qual vai ser sua taxa de depreciação?
"δ = 0,1"
Isso!
Então podemos dizer que o montante de capital que se deprecia a cada ano é:
δk
Podemos expressar o impacto do investimento e da depreciação sobre o estoque de capital com a seguinte equação:
Variação no Estoque do Capital = Investimento - Depreciação
Δk = i - δk
Como:
i = sf(k)
Podemos escrever:
Δk = sf(k) - δk
A figura abaixo apresenta, sob a forma de gráfico, os termos dessa equação para diferentes níveis de estoque de capital, k.
Chamamos de k* o nível de capital no estado estacionário.
"Por que este estado estacionário é tão importante?"
Por duas razões:
1 - Uma economia que se encontra no estado estacionário, nele permanecerá;
2 - Uma economia que não se encontra no estado estacionário, caminhará em direção a ele.
Ou seja, todo mundo se encontra no estado estacionário.
O estado estacionário representa o equilíbrio da economia no longo prazo.
"Por que isso?"
Simples.
Pense que uma economia tem um nível de capital inferior a k*. Neste nível, o investimento vai ser superior a depreciação e chegaremos no estado estacionário.
Pense o contrário. A economia tem um nível de capital superior a k*. Neste nível, a depreciação vai ser superior ao investimento e o nível de capital diminuirá. Também chegaremos no estado estacionário.
Como a poupança afeta o crescimento?
O que acontece com uma economia se aumentarmos a taxa de poupança?
Se lembra do "s"?
Aquela parte da renda que as pessoas guardam ao invés de consumir?
O que acontece quando as pessoas resolvem poupar mais?
"Como a poupança é igual ao investimento, e o investimento aumenta a quantidade de capital por trabalhador, k, eu diria que a produção aumenta".
Muito bem! Isso mesmo. E o que mais?
"Tem mais?"
Tem mais um ponto importante. Em relação ao estado estacionário.
Imagine uma economia que tem um a taxa de poupança igual a depreciação. O que isso quer dizer?
"Que esta economia se encontra no estado estacionário"
Muito bem. Agora imagina que a taxa de poupança aumenta. O que aconteceria?
A figura abaixo mostra esse tipo de mudança.
Vamos começar dizendo que a economia começa com uma taxa de poupança s1 e o estoque de capital k1*.
Quando a taxa de poupança cresce de s1 para s2, a curva sf(k) se desloca em sentido ascendente. Na taxa de poupança inicial, s1, e no estoque de capital inicial k1*, o investimento simplesmente compensa a depreciação.
Imediatamente após o crescimento da taxa de poupança, o montante de investimento passa a ser maior, porém o estoque de capital e a depreciação permanecem inalterados. Portanto, o investimento excede a depreciação. O estoque de capital passará a aumentar gradativamente, até que a economia alcance o novo estado estacionário k2*, que apresenta um maior estoque de capital e um nível de produção superior ao antigo estado estacionário.
"Ou seja, quando aumentamos a taxa de poupança de uma economia, aumentamos o ponto do estado estacionário?"
Isso mesmo!
Essa definição é muito importante no modelo.
Segundo nosso amigo Solow:
"Se a taxa de poupança for alta, a economia terá um grande estoque de capital e um nível de produção elevado no estado estacionário. Se a taxa de poupança for baixa, a economia terá um pequeno estoque de capital e um nível de produção reduzido no estado estacionário".
O que o modelo de Solow afirma sobre a relação entre poupança e crescimento econômico?
Uma maior poupança acarreta um crescimento mais rápido, no modelo de Solow, mas apenas temporariamente. Um incremento na taxa de poupança aumenta o crescimento somente até que a economia alcance o novo estado estacionário.
Se a economia mantém uma elevada taxa de poupança, ela manterá um grande estoque de capital e um alto nível de produção, mas não será capaz de manter para sempre uma elevada taxa de crescimento.
Pronto!
Isso é tudo por enquanto.
Antes de seguir, tire alguns minutos para esfriar a cabeça.
O NÍVEL DE CAPITAL DA REGRA DE OURO
Até o momento, utilizamos a taxa de poupança e de investimento para determinar os níveis de capital e renda no estado estacionário.
Vamos começar com uma pergunta:
O que fazer para aumentar a renda?
"Eu ja peguei o jeito. Basta elevar o nível da poupança"
Muito bem! Até quanto?
"100%?"
Do ponto de vista econômico, essa resposta faz todo sentido. Mas você conseguiria viver uma vida em que não pudesse gastar nada do seu salário com você? Se tudo que você ganhasse tivesse que ser reinvestido?
Provavelmente não.
Vamos analisar agora qual seria a taxa ótima de poupança para maximizar o bem estar.
Comparando Estados Estacionário
Vamos supor que você seja um formulador da política econômica de um país e que, por isso, seja capaz de fixar a taxa de poupança desta economia.
Qual você escolheria?
Como formulador da política econômica do país, o seu objetivo é maximizar o bem estar da população.
Os indivíduos não estão preocupados com o nível de capital da economia. Eles provavelmente nem sabem o que é isso. O que eles querem é saber o quanto vão poder consumir.
Se você for do tipo bonzinho, provavelmente escolheria um estado estacionário com um alto nível de consumo e uma baixa taxa de poupança.
O valor para k, no estado estacionário, que maximiza o consumo, é conhecido como nível de capital da Regra de Ouro, e é representado por meio de k*ouro.
"Beleza. Mas como eu vou saber se uma economia está na regra de ouro?"
Para responder essa pergunta, primeiro eu quero que você visualize o estado estacionário. Aquele em que a depreciação é igual ao investimento. Lembrou?
Ok.
Agora vamos determinar o consumo do trabalhador no estado estacionário.
Para encontrarmos o consumo do trabalhador no estado estacionário, vamos iniciar a identidade das contas nacionais:
y = c + i
O que essa identidade quer dizer mesmo?
"Que a produção é igual ao consumo mais o investimento"
Certo!
Vamos reorganizar sob a forma:
c = y - i
Agora ficou: consumo é igual a produção menos investimento.
Como queremos encontrar o consumo no estado estacionário, substituímos a produção e o investimento por seus respectivos valores no estado estacionário.
A produção por trabalhador, no estado estacionário, é f(k*), onde k* representa o estoque de capital por trabalhador, no estado estacionário. Além disso, uma vez que o estoque de capital não varia no estado estacionário, investimento é igual a depreciação, δk*. Substituindo y por f(k*) e i por δk*, podemos escrever o consumo por trabalhador, no estado estacionário, como
c* = f(k*) - δk*
De acordo com essa equação, o consumo no estado estacionário é aquilo que resta da produção, depois de remunerada a depreciação do estado estacionário.
A equação mostra que o aumento do capital, no estado estacionário, provoca duas reações sobre o consumo no estado estacionário.
Por um lado, mais capital significa mais produção. Por outro lado, mais capital significa mais depreciação.
Vamos olhar a figura abaixo.
O consumo no estado estacionário corresponde ao intervalo entre produção e depreciação. A figura demonstra que existe um nível para o estoque de capital - o nível da Regra de Ouro, k*ouro - que maximiza o consumo.
"Ta meio confuso..."
Vamos tentar uma outra abordagem!
Acompanhe o raciocínio:
Ao contrário do estado estacionário, onde a produção é máxima dado determinado nível de capital, o estado da regra de ouro é aquele em que o consumo é máximo.
Mas como encontrar este consumo máximo?
A produção da economia ou é utilizada para consumo ou para investimento.
y = c + i
ou
c = y - i
Sabemos que a produção é uma função do capital. Lembre:
y = f(k)
Agora vamos focar no estado estacionário. Me diga mais uma vez a principal característica deste.
"No estado estacionário, o investimento se iguala a depreciação."
Isso!
Podemos dizer então que o investimento, no estado estacionário, é igual a depreciação. Certo?
"Sim"
Vamos agora dizer que o consumo no estado estacionário vai ser c*.
Vamos dizer a produção no estado estacionário vai ser f(k*).
Vamos dizer que o investimento é igual a depreciação e que esta vai ser representada por δk*. Lembrando que no estado estacionário δk* = i
Vamos pegar a equação que apresentamos acima:
c = y - i
E como essa equação fica no estado estacionário?
c* = f(k*) - δk*
Pessoas, prestem atenção.
É a mesma equação!
Eu apenas mudei os termos para mostrar que se trata do estado estacionário.
Esta equação não mostra o ponto em que o consumo é máximo. Ela mostra o ponto em que a produção é máxima. Dado determinado nível de estoque de capital.
"Perae! Quer dizer que o estado da regra de ouro vai apresentar uma produção menor do que o estado estacionário?"
Sim! Porque na regra de ouro, o objetivo não é maximizar a produção, e sim o consumo. De uma olhada na figura que coloquei acima e perceba a diferença.
Ao comparar estados estacionários, devemos ter em mente que níveis mais altos de capital afetam tanto o total da produção quanto a depreciação. Se o estoque de capital está abaixo o nível da Regra de Ouro, um crescimento no estoque de capital faz com que a produção cresça mais do que a depreciação, de forma que o consumo aumenta. Em contrapartida, se o estoque de capital está acima do nível da Regra de Ouro, um aumento no estoque de capital reduz o consumo, uma vez que o crescimento na produção é menor do que o crescimento da depreciação.
Lembre deste ponto importante: quando passamos o ponto da Regra de Ouro, a produção continua a crescer. Porém o consumo não é mais o máximo.
"Ok. Mas qual é o consumo na Regra de Ouro? Como fazemos para descobrir ele?"
No nível de capital da Regra de Ouro, a função de produção e a reta δk* apresentam a mesma inclinação, e o consumo está em seu nível mais alto.
Podemos, agora, derivar uma condição simples, que caracteriza o nível de capital da Regra de Ouro. Lembra-se de que a inclinação da função de produção corresponde ao produto marginal do capital, PMgK. A inclinação na reta δk* é δ. Uma vez que essas duas inclinações são iguais em k*ouro, a Regra de Ouro é descrita por meio da equação
PMgK = δ
No nível de capital da regra de ouro, o produto marginal do capital é igual à taxa de depreciação.
Se PMgK > δ, então aumentos no capital fazem com que cresça o consumo, de modo que k* deve necessariamente está abaixo da regra de ouro.
Se PMgK < δ, então aumentos no capital fazem com que diminua o consumo, de modo que k* deve necessariamente está acima da regra de ouro.
O que eu quero que você perceba aqui:
1 - A produção aumenta com o aumento do nível de capital, k;
2 - O aumento do nível de capital faz aumentar a depreciação;
3 - Se a depreciação for maior que o investimento, o nível de capital diminui. Se for menor, o nível de capital aumenta.
Perceba o ponto no gráfico k*.
Neste ponto a depreciação é igual ao investimento. Neste ponto, o nível de capital não varia.
Ou seja, em k*, Δk = 0.
Chamamos de k* o nível de capital no estado estacionário.
PRESTA ATENÇÃO NISSO QUE ACABEI DE ESCREVER.
"Por que este estado estacionário é tão importante?"
Por duas razões:
1 - Uma economia que se encontra no estado estacionário, nele permanecerá;
2 - Uma economia que não se encontra no estado estacionário, caminhará em direção a ele.
Ou seja, todo mundo se encontra no estado estacionário.
O estado estacionário representa o equilíbrio da economia no longo prazo.
"Por que isso?"
Simples.
Pense que uma economia tem um nível de capital inferior a k*. Neste nível, o investimento vai ser superior a depreciação e chegaremos no estado estacionário.
Pense o contrário. A economia tem um nível de capital superior a k*. Neste nível, a depreciação vai ser superior ao investimento e o nível de capital diminuirá. Também chegaremos no estado estacionário.
Como a poupança afeta o crescimento?
O que acontece com uma economia se aumentarmos a taxa de poupança?
Se lembra do "s"?
Aquela parte da renda que as pessoas guardam ao invés de consumir?
O que acontece quando as pessoas resolvem poupar mais?
"Como a poupança é igual ao investimento, e o investimento aumenta a quantidade de capital por trabalhador, k, eu diria que a produção aumenta".
Muito bem! Isso mesmo. E o que mais?
"Tem mais?"
Tem mais um ponto importante. Em relação ao estado estacionário.
Imagine uma economia que tem um a taxa de poupança igual a depreciação. O que isso quer dizer?
"Que esta economia se encontra no estado estacionário"
Muito bem. Agora imagina que a taxa de poupança aumenta. O que aconteceria?
A figura abaixo mostra esse tipo de mudança.
Vamos começar dizendo que a economia começa com uma taxa de poupança s1 e o estoque de capital k1*.
Quando a taxa de poupança cresce de s1 para s2, a curva sf(k) se desloca em sentido ascendente. Na taxa de poupança inicial, s1, e no estoque de capital inicial k1*, o investimento simplesmente compensa a depreciação.
Imediatamente após o crescimento da taxa de poupança, o montante de investimento passa a ser maior, porém o estoque de capital e a depreciação permanecem inalterados. Portanto, o investimento excede a depreciação. O estoque de capital passará a aumentar gradativamente, até que a economia alcance o novo estado estacionário k2*, que apresenta um maior estoque de capital e um nível de produção superior ao antigo estado estacionário.
"Ou seja, quando aumentamos a taxa de poupança de uma economia, aumentamos o ponto do estado estacionário?"
Isso mesmo!
Essa definição é muito importante no modelo.
Segundo nosso amigo Solow:
"Se a taxa de poupança for alta, a economia terá um grande estoque de capital e um nível de produção elevado no estado estacionário. Se a taxa de poupança for baixa, a economia terá um pequeno estoque de capital e um nível de produção reduzido no estado estacionário".
O que o modelo de Solow afirma sobre a relação entre poupança e crescimento econômico?
Uma maior poupança acarreta um crescimento mais rápido, no modelo de Solow, mas apenas temporariamente. Um incremento na taxa de poupança aumenta o crescimento somente até que a economia alcance o novo estado estacionário.
Se a economia mantém uma elevada taxa de poupança, ela manterá um grande estoque de capital e um alto nível de produção, mas não será capaz de manter para sempre uma elevada taxa de crescimento.
Pronto!
Isso é tudo por enquanto.
Antes de seguir, tire alguns minutos para esfriar a cabeça.
O NÍVEL DE CAPITAL DA REGRA DE OURO
Até o momento, utilizamos a taxa de poupança e de investimento para determinar os níveis de capital e renda no estado estacionário.
Vamos começar com uma pergunta:
O que fazer para aumentar a renda?
"Eu ja peguei o jeito. Basta elevar o nível da poupança"
Muito bem! Até quanto?
"100%?"
Do ponto de vista econômico, essa resposta faz todo sentido. Mas você conseguiria viver uma vida em que não pudesse gastar nada do seu salário com você? Se tudo que você ganhasse tivesse que ser reinvestido?
Provavelmente não.
Vamos analisar agora qual seria a taxa ótima de poupança para maximizar o bem estar.
Comparando Estados Estacionário
Vamos supor que você seja um formulador da política econômica de um país e que, por isso, seja capaz de fixar a taxa de poupança desta economia.
Qual você escolheria?
Como formulador da política econômica do país, o seu objetivo é maximizar o bem estar da população.
Os indivíduos não estão preocupados com o nível de capital da economia. Eles provavelmente nem sabem o que é isso. O que eles querem é saber o quanto vão poder consumir.
Se você for do tipo bonzinho, provavelmente escolheria um estado estacionário com um alto nível de consumo e uma baixa taxa de poupança.
O valor para k, no estado estacionário, que maximiza o consumo, é conhecido como nível de capital da Regra de Ouro, e é representado por meio de k*ouro.
"Beleza. Mas como eu vou saber se uma economia está na regra de ouro?"
Para responder essa pergunta, primeiro eu quero que você visualize o estado estacionário. Aquele em que a depreciação é igual ao investimento. Lembrou?
Ok.
Agora vamos determinar o consumo do trabalhador no estado estacionário.
Para encontrarmos o consumo do trabalhador no estado estacionário, vamos iniciar a identidade das contas nacionais:
y = c + i
O que essa identidade quer dizer mesmo?
"Que a produção é igual ao consumo mais o investimento"
Certo!
Vamos reorganizar sob a forma:
c = y - i
Agora ficou: consumo é igual a produção menos investimento.
Como queremos encontrar o consumo no estado estacionário, substituímos a produção e o investimento por seus respectivos valores no estado estacionário.
A produção por trabalhador, no estado estacionário, é f(k*), onde k* representa o estoque de capital por trabalhador, no estado estacionário. Além disso, uma vez que o estoque de capital não varia no estado estacionário, investimento é igual a depreciação, δk*. Substituindo y por f(k*) e i por δk*, podemos escrever o consumo por trabalhador, no estado estacionário, como
c* = f(k*) - δk*
De acordo com essa equação, o consumo no estado estacionário é aquilo que resta da produção, depois de remunerada a depreciação do estado estacionário.
A equação mostra que o aumento do capital, no estado estacionário, provoca duas reações sobre o consumo no estado estacionário.
Por um lado, mais capital significa mais produção. Por outro lado, mais capital significa mais depreciação.
Vamos olhar a figura abaixo.
O consumo no estado estacionário corresponde ao intervalo entre produção e depreciação. A figura demonstra que existe um nível para o estoque de capital - o nível da Regra de Ouro, k*ouro - que maximiza o consumo.
"Ta meio confuso..."
Vamos tentar uma outra abordagem!
Acompanhe o raciocínio:
Ao contrário do estado estacionário, onde a produção é máxima dado determinado nível de capital, o estado da regra de ouro é aquele em que o consumo é máximo.
Mas como encontrar este consumo máximo?
A produção da economia ou é utilizada para consumo ou para investimento.
y = c + i
ou
c = y - i
Sabemos que a produção é uma função do capital. Lembre:
y = f(k)
Agora vamos focar no estado estacionário. Me diga mais uma vez a principal característica deste.
"No estado estacionário, o investimento se iguala a depreciação."
Isso!
Podemos dizer então que o investimento, no estado estacionário, é igual a depreciação. Certo?
"Sim"
Vamos agora dizer que o consumo no estado estacionário vai ser c*.
Vamos dizer a produção no estado estacionário vai ser f(k*).
Vamos dizer que o investimento é igual a depreciação e que esta vai ser representada por δk*. Lembrando que no estado estacionário δk* = i
Vamos pegar a equação que apresentamos acima:
c = y - i
E como essa equação fica no estado estacionário?
c* = f(k*) - δk*
Pessoas, prestem atenção.
É a mesma equação!
Eu apenas mudei os termos para mostrar que se trata do estado estacionário.
Esta equação não mostra o ponto em que o consumo é máximo. Ela mostra o ponto em que a produção é máxima. Dado determinado nível de estoque de capital.
"Perae! Quer dizer que o estado da regra de ouro vai apresentar uma produção menor do que o estado estacionário?"
Sim! Porque na regra de ouro, o objetivo não é maximizar a produção, e sim o consumo. De uma olhada na figura que coloquei acima e perceba a diferença.
Ao comparar estados estacionários, devemos ter em mente que níveis mais altos de capital afetam tanto o total da produção quanto a depreciação. Se o estoque de capital está abaixo o nível da Regra de Ouro, um crescimento no estoque de capital faz com que a produção cresça mais do que a depreciação, de forma que o consumo aumenta. Em contrapartida, se o estoque de capital está acima do nível da Regra de Ouro, um aumento no estoque de capital reduz o consumo, uma vez que o crescimento na produção é menor do que o crescimento da depreciação.
Lembre deste ponto importante: quando passamos o ponto da Regra de Ouro, a produção continua a crescer. Porém o consumo não é mais o máximo.
"Ok. Mas qual é o consumo na Regra de Ouro? Como fazemos para descobrir ele?"
No nível de capital da Regra de Ouro, a função de produção e a reta δk* apresentam a mesma inclinação, e o consumo está em seu nível mais alto.
Podemos, agora, derivar uma condição simples, que caracteriza o nível de capital da Regra de Ouro. Lembra-se de que a inclinação da função de produção corresponde ao produto marginal do capital, PMgK. A inclinação na reta δk* é δ. Uma vez que essas duas inclinações são iguais em k*ouro, a Regra de Ouro é descrita por meio da equação
PMgK = δ
No nível de capital da regra de ouro, o produto marginal do capital é igual à taxa de depreciação.
Se PMgK > δ, então aumentos no capital fazem com que cresça o consumo, de modo que k* deve necessariamente está abaixo da regra de ouro.
Se PMgK < δ, então aumentos no capital fazem com que diminua o consumo, de modo que k* deve necessariamente está acima da regra de ouro.
A seguinte condição descreve a regra de ouro:
PMgK - δ = 0
Tenha em mente que a economia não vai, milagrosamente, em direção ao estado da regra de ouro. É preciso estipular uma taxa de poupança que faça com que a economia consiga alcançar a regra de ouro.
A figura abaixo ilustra o estado estacionário caso a taxa de poupança seja estabelecida no sentido de que seja produzido o nível de capital da regra de ouro. Se a taxa de poupança for mais alta do que aquela utilizada na figura, o estoque de capital do estado estacionário será demasiadamente alto. Se a taxa de poupança for mais baixa, o estoque de capital do estado estacionário será demasiadamente baixo.
Em qualquer um desses casos, o consumo do estado estacionário será mais baixo do que no estado estacionário correspondente à regra de ouro.
Em qualquer um desses casos, o consumo do estado estacionário será mais baixo do que no estado estacionário correspondente à regra de ouro.
Hora da pausa!
Novamente, recomendo realizar uma pausa agora para esfriar a cabeça.
A transição para o estado estacionário da regra de ouro
Vamos supor que a economia se encontra em outro estado que não o da regra de ouro. Quais seriam as consequências de levar a economia para o estado da regra de ouro?
Vamos trabalhar com duas suposições: a economia começa com mais capital do que no estado da regra de ouro ou com menos.
Começando com uma quantidade demasiadamente grande de capital
Quando você em uma quantidade de capital muito grande e quer alcançar a regra de ouro, o que você faz?
"....."
Você precisa incentivar as pessoas a consumir!
E para isso, você vai querer diminuir a poupança para reduzir o estoque de capital.
Suponhamos que essas políticas venham a ser bem-sucedidas e que, em algum determinado ponto - passemos a chamá-lo de t0, - a taxa de poupança caia para o nível que por fim levará ao estado estacionário da regra de ouro.
Mas quais os impactos que a redução no nível de poupança acarreta para a produção, consumo e investimento?
A redução da taxa de poupança faz cair o investimento. Lembra que poupança é igual ao investimento? Se a taxa de poupança cai, o investimento cai.
E a produção?
Com menor nível de capital por trabalhador, a produção também irá cair.
Mas e o consumo?
Em um primeiro momento, o consumo irá explodir! Depois ele vai diminuir um pouco, porém ainda será superior ao que era no estado estacionário.
A figura abaixo ilustra essas mudanças.
"E como fica o estado estacionário?"
De uma olhada na figura abaixo.
Da mesma forma que antes, uma economia se encontra no estado estacionário se o nível de capital por trabalhador, k, permanecer inalterado. Do mesmo modo que antes, representamos o nível de capital no estado estacionário como k*.
Se k é menor do que k*, o investimento é maior que o investimento de equilíbrio. Nesse caso, k aumenta.
Se k for maior do que k*, o investimento é menor que o investimento de equilíbrio. Nesse caso, k diminui.
No estado estacionário, o efeito positivo do investimento sobre o estoque de capital por trabalhador compensa exatamente os efeitos negativos decorrentes da depreciação e do crescimento populacional. Ou seja, k*, Δk = 0 e i = δk* + nk*.
Uma vez que a economia esteja no estado estacionário, o investimento passa a ter dois propósitos. Uma parte dele (δk*) substitui o capital depreciado, enquanto o restante (nk*) proporciona aos novos trabalhadores o montante de capital do estado estacionário.
Os efeitos do crescimento populacional
Pronto!
Agora so falta o crescimento tecnológico para fecharmos o modelo.
Hora de dar aquela pausa antes do último tópico.
Progresso tecnológico no modelo de Solow
A eficiência da mão de obra
Para introduzirmos o progresso tecnológico na economia, vamos nos lembrar da função de produção.
"y = f(k)"
Essa é a função do produto per capital. Qual é a função de produção da economia? Sem ser a per capita?
"Y = F(K,L)"
Isso mesmo!
A produção é uma função do nível de capital e da força de trabalho. Vamos agora introduzir um novo elemento nessa função. Vai ficar assim:
Y = F(K, L x E)
em que E representa a eficiência da mão de obra.
Pense comigo, oque poderia afetar a eficiência da mão de obra?
"Educação?"
Sim!
A mão de obra vai ser "maximizada" por este termo. Pense o seguinte, um trabalhador de um país desenvolvido, como EUA, possui a mesma eficiência que um trabalhador africano?
Não né?
Isso porque o trabalhador americano tem um nível educacional, em média, superior ao trabalhador africano. Isso o torna mais produtivo.
O tempo, com o advento de novas maquinas e processos, também aumenta a produtividade do trabalhador. Um trabalhador hoje é duas vezes mais produtivo do que em 1980. Isso porque a tecnologia hoje é muito mais desenvolvida.
Tudo isso é representado por E.
O termo LxE pode ser interpretado como a quantidade de trabalhadores em termos de unidades de eficiência.
O pressuposto mais simples sobre o progresso tecnológico é que ele faz com que a eficiência da mão de obra, E, cresça a uma taxa constante, g.
Por exemplo, se g = 0,02, então cada unidade de mão de obra passa a ser 2% mais eficiente: a produção aumenta como se a força de trabalho tivesse aumentado quantitativamente em 2% a mais do que efetivamente ocorreu.
Esse modelo de progresso tecnológico é chamado de ampliador da mão de obra, e g é chamado de taxa de progresso tecnológico ampliador da mão de obra. Como a força de trabalho, L, está crescendo à taxa n e a eficiência de cada unidade de mão de obra, E, está crescendo à taxa g, a quantidade de unidades de eficiência L x E está crescendo à taxa n + g.
O estado estacionário com progresso tecnológico
Entendemos até agora que o progresso tecnológico age na mão de obra. Tornando-a mais produtiva.
O progresso tecnológico faz com que cresça a quantidade de trabalhadores em termos de unidade de eficiência. Anteriormente, quando não existia qualquer progresso tecnológico, analisamos a economia em termos de quantidades por trabalhador; agora, analisamos a economia em termos de quantidades por unidade de trabalhador efetivo.
Fazemos agora com que k = K/(L x E) represente o capital por trabalhador efetivo e y = Y/(L x E) represente a produção por trabalhador efetivo. Com essas definições podemos novamente escrever y = f(k)
A equação que mostra a evolução de k ao longo do tempo passa agora a ser
Δk = sf(k) - (δ + n + g)k
A variação no estoque de capital, Δk, é igual ao investimento sf(k) menos o investimento de equilíbrio (δ + n + g)k. Agora, no entanto, uma vez que k = K/(L x E), o investimento de equilíbrio inclui três termos: para manter k constante, δk é necessário para substituir o capital que esta se depreciando, nk é necessário para fornecer capital aos novos trabalhadores e gk é necessário para proporcionar capital para os novos ''trabalhadores efetivos'' criados pelo progresso tecnológico.
Conforme mostra a figura abaixo, a inclusão do progresso tecnológico não modifica de modo substancial nossa análise sobre o estado estacionário.
Existe um nível de k, representado por k*, no qual o capital por trabalhador efetivo e a produção por trabalhador efetivo são constante. Da mesma maneira que antes, esse estado estacionário representa o equilíbrio da economia no longo prazo.
Novamente, recomendo realizar uma pausa agora para esfriar a cabeça.
A transição para o estado estacionário da regra de ouro
Vamos supor que a economia se encontra em outro estado que não o da regra de ouro. Quais seriam as consequências de levar a economia para o estado da regra de ouro?
Vamos trabalhar com duas suposições: a economia começa com mais capital do que no estado da regra de ouro ou com menos.
Começando com uma quantidade demasiadamente grande de capital
Quando você em uma quantidade de capital muito grande e quer alcançar a regra de ouro, o que você faz?
"....."
Você precisa incentivar as pessoas a consumir!
E para isso, você vai querer diminuir a poupança para reduzir o estoque de capital.
Suponhamos que essas políticas venham a ser bem-sucedidas e que, em algum determinado ponto - passemos a chamá-lo de t0, - a taxa de poupança caia para o nível que por fim levará ao estado estacionário da regra de ouro.
Mas quais os impactos que a redução no nível de poupança acarreta para a produção, consumo e investimento?
A redução da taxa de poupança faz cair o investimento. Lembra que poupança é igual ao investimento? Se a taxa de poupança cai, o investimento cai.
E a produção?
Com menor nível de capital por trabalhador, a produção também irá cair.
Mas e o consumo?
Em um primeiro momento, o consumo irá explodir! Depois ele vai diminuir um pouco, porém ainda será superior ao que era no estado estacionário.
A figura abaixo ilustra essas mudanças.
Começando com uma quantidade de capital demasiadamente pequena
Vamos imaginar o contrário agora.
Vamos supor que determinada economia possui uma quantidade pequena de capital.
Novamente pergunto: o que fazer para alcançar o estado da regra de ouro?
"Devemos aumentar a poupança?"
Isso!
Devemos aumentar a poupança para aumentar o nível de capital.
Mas como isso afeta a produção, o investimento e consumo?
Um maior nível de poupança aumenta o investimento.
"Poupança é igual a investimento."
Isso mesmo.
A produção também irá aumentar. Com maior nível de capital por trabalhador, teremos uma produção maior.
"E o consumo vai aumentar também"
Em parte.
Presta atenção.
No momento em que você estimula a formação da poupança, em um primeiro momento, o consumo cai.
Se você está querendo que as pessoas poupem mais, é normal o consumo diminuir.
Mas isso é apenas no primeiro momento, logo depois o consumo aumenta e atinge um nível superior ao que ele possuía antes.
A figura abaixo mostra essas mudanças.
Crescimento populacional
Vamos adicionar, agora, mais uma variável ao modelo de Solow: o crescimento populacional.
Esta variável vai nos ajudar a entender como as economias conseguem crescer de forma sustentável.
Quando não consideramos o crescimento populacional, a economia cresce até o estado estacionário.
Na medida em que a taxa de poupança aumenta, a economia experimente um crescimento intenso, porém, temporário.
Uma vez que esta atinge o estado estacionário, este crescimento desaparece.
Lembrando que o estado estacionário é aquele em que o investimento é igual a depreciação. Neste estado, o nível de capital na economia não aumenta.
Em vez de pressupor que a população seja fixa, vamos agora supor que ela cresça a uma taxa constante "n".
O estado estacionário com crescimento populacional
Vamos começar analisando o estoque de capital.
Quais são as duas variáveis que afetam o estoque de capital?
"Investimento e depreciação"
Isso!
O investimento aumenta o estoque de capital; a depreciação diminui.
Quando estes dois são iguais, temos o estado estacionário.
Nada novo.
Mas agora temos uma terceira força atuando, o crescimento populacional.
O crescimento populacional vai diminuir o estoque de capital por trabalhador na economia. Uma vez que vai ter mais pessoas utilizado o estoque de capital existente.
Continuaremos a fazer com que letras minúsculas correspondam a quantidade por trabalhador. Sendo assim, k = K/L corresponde ao capital por trabalhador, e y = Y/L corresponde à produção por trabalhador. Mas lembre-se: o número de trabalhadores cresce a uma taxa constante ao longo do tempo.
Como fica a variação do capital agora?
Δk = i - (δ + n)k
Δ representa a variação. Neste caso, temos que a variação do capital é igual ao investimento menos a soma da depreciação com o crescimento populacional vezes o nível de capital atual.
Podemos imaginar o termo (δ + n)k como definindo o investimento de equilíbrio - a quantidade necessária de investimento para manter constante o estoque de capital por trabalhador.
Essa equação mostra que o crescimento populacional reduz a quantidade de capital por trabalhador quase do mesmo modo que a depreciação. A depreciação reduz k em decorrência do desgaste do estoque de capital, enquanto o crescimento populacional reduz k em decorrência de uma distribuição menos farta do estoque de capital por entre uma maior população de trabalhadores.
Caso seja mais familiar para você, substitua i na equação acima por sf(k):
Essa equação mostra que o crescimento populacional reduz a quantidade de capital por trabalhador quase do mesmo modo que a depreciação. A depreciação reduz k em decorrência do desgaste do estoque de capital, enquanto o crescimento populacional reduz k em decorrência de uma distribuição menos farta do estoque de capital por entre uma maior população de trabalhadores.
Caso seja mais familiar para você, substitua i na equação acima por sf(k):
Δk = sf(k) - (δ + n)k
"E como fica o estado estacionário?"
De uma olhada na figura abaixo.
Da mesma forma que antes, uma economia se encontra no estado estacionário se o nível de capital por trabalhador, k, permanecer inalterado. Do mesmo modo que antes, representamos o nível de capital no estado estacionário como k*.
Se k é menor do que k*, o investimento é maior que o investimento de equilíbrio. Nesse caso, k aumenta.
Se k for maior do que k*, o investimento é menor que o investimento de equilíbrio. Nesse caso, k diminui.
No estado estacionário, o efeito positivo do investimento sobre o estoque de capital por trabalhador compensa exatamente os efeitos negativos decorrentes da depreciação e do crescimento populacional. Ou seja, k*, Δk = 0 e i = δk* + nk*.
Uma vez que a economia esteja no estado estacionário, o investimento passa a ter dois propósitos. Uma parte dele (δk*) substitui o capital depreciado, enquanto o restante (nk*) proporciona aos novos trabalhadores o montante de capital do estado estacionário.
Os efeitos do crescimento populacional
O crescimento populacional altera o modelo de três formas.
Em primeiro lugar, nos aproxima do crescimento sustentável. Antes de introduzirmos o crescimento populacional, quando o investimento se igualava a depreciação, a economia se encontrava no estado estacionário. Aumentos nos níveis de investimento seriam abafados por níveis mais elevados de depreciação e nada mudariam.
Com o crescimento populacional, o nível estacionário não é mais estático como antes. Isso porque, como a população cresce a uma taxa constante, é preciso que, mesmo no nível estacionário, o investimento continue crescendo para distribuir capital para os novos.
Segundo. O crescimento populacional nos oferece uma outra explicação para a razão pela qual alguns países são ricos e outros são pobres. Considere os efeitos de crescimento populacional. A figura abaixo mostra que um crescimento de n1 para n2, na taxa de crescimento da população, reduz de k1* para k2* o nível de capital por trabalhador, no estado estacionário. Uma vez que k* é mais baixo, e uma vez que y* = f(k*), o nível de produção por trabalhador, y*, é também mais baixo.
Finalizando, o crescimento populacional afeta nossos critérios para determinar o nível de capital da Regra de Ouro (maximização do consumo). Para verificar o modo como esse critério sofre modificações, observe que o consumo por trabalhador é:
c = y - i
Uma vez que a produção no estado estacionário é f(k*) e o investimento no estado estacionário é (δ + n)k*, podemos expressar o consumo no estado estacionário sob a forma:
c* = f(k*) - (δ + n)k*
O nível de k* que maximiza o consumo é aquele no qual
PMgK = δ + n
ou
PMgK - δ = n
No estado estacionário da Regra de Ouro, o produto marginal do capital líquido, depois de extraída a depreciação, é igual à taxa de crescimento populacional.
Em primeiro lugar, nos aproxima do crescimento sustentável. Antes de introduzirmos o crescimento populacional, quando o investimento se igualava a depreciação, a economia se encontrava no estado estacionário. Aumentos nos níveis de investimento seriam abafados por níveis mais elevados de depreciação e nada mudariam.
Com o crescimento populacional, o nível estacionário não é mais estático como antes. Isso porque, como a população cresce a uma taxa constante, é preciso que, mesmo no nível estacionário, o investimento continue crescendo para distribuir capital para os novos.
Segundo. O crescimento populacional nos oferece uma outra explicação para a razão pela qual alguns países são ricos e outros são pobres. Considere os efeitos de crescimento populacional. A figura abaixo mostra que um crescimento de n1 para n2, na taxa de crescimento da população, reduz de k1* para k2* o nível de capital por trabalhador, no estado estacionário. Uma vez que k* é mais baixo, e uma vez que y* = f(k*), o nível de produção por trabalhador, y*, é também mais baixo.
Portando, o modelo de Solow prevê que países com mais crescimento populacional terão níveis mais baixos de PIB per capita. Uma alteração na taxa de crescimento populacional, do mesmo modo que uma alteração na taxa de poupança, exerce um efeito de nível sobre a renda per capita, mas não afeta a taxa de crescimento da renda per capital no estado estacionário.
Finalizando, o crescimento populacional afeta nossos critérios para determinar o nível de capital da Regra de Ouro (maximização do consumo). Para verificar o modo como esse critério sofre modificações, observe que o consumo por trabalhador é:
c = y - i
Uma vez que a produção no estado estacionário é f(k*) e o investimento no estado estacionário é (δ + n)k*, podemos expressar o consumo no estado estacionário sob a forma:
c* = f(k*) - (δ + n)k*
O nível de k* que maximiza o consumo é aquele no qual
PMgK = δ + n
ou
PMgK - δ = n
No estado estacionário da Regra de Ouro, o produto marginal do capital líquido, depois de extraída a depreciação, é igual à taxa de crescimento populacional.
Pronto!
Agora so falta o crescimento tecnológico para fecharmos o modelo.
Hora de dar aquela pausa antes do último tópico.
Progresso tecnológico no modelo de Solow
A eficiência da mão de obra
Para introduzirmos o progresso tecnológico na economia, vamos nos lembrar da função de produção.
"y = f(k)"
Essa é a função do produto per capital. Qual é a função de produção da economia? Sem ser a per capita?
"Y = F(K,L)"
Isso mesmo!
A produção é uma função do nível de capital e da força de trabalho. Vamos agora introduzir um novo elemento nessa função. Vai ficar assim:
Y = F(K, L x E)
em que E representa a eficiência da mão de obra.
Pense comigo, oque poderia afetar a eficiência da mão de obra?
"Educação?"
Sim!
A mão de obra vai ser "maximizada" por este termo. Pense o seguinte, um trabalhador de um país desenvolvido, como EUA, possui a mesma eficiência que um trabalhador africano?
Não né?
Isso porque o trabalhador americano tem um nível educacional, em média, superior ao trabalhador africano. Isso o torna mais produtivo.
O tempo, com o advento de novas maquinas e processos, também aumenta a produtividade do trabalhador. Um trabalhador hoje é duas vezes mais produtivo do que em 1980. Isso porque a tecnologia hoje é muito mais desenvolvida.
Tudo isso é representado por E.
O termo LxE pode ser interpretado como a quantidade de trabalhadores em termos de unidades de eficiência.
O pressuposto mais simples sobre o progresso tecnológico é que ele faz com que a eficiência da mão de obra, E, cresça a uma taxa constante, g.
Por exemplo, se g = 0,02, então cada unidade de mão de obra passa a ser 2% mais eficiente: a produção aumenta como se a força de trabalho tivesse aumentado quantitativamente em 2% a mais do que efetivamente ocorreu.
Esse modelo de progresso tecnológico é chamado de ampliador da mão de obra, e g é chamado de taxa de progresso tecnológico ampliador da mão de obra. Como a força de trabalho, L, está crescendo à taxa n e a eficiência de cada unidade de mão de obra, E, está crescendo à taxa g, a quantidade de unidades de eficiência L x E está crescendo à taxa n + g.
O estado estacionário com progresso tecnológico
Entendemos até agora que o progresso tecnológico age na mão de obra. Tornando-a mais produtiva.
O progresso tecnológico faz com que cresça a quantidade de trabalhadores em termos de unidade de eficiência. Anteriormente, quando não existia qualquer progresso tecnológico, analisamos a economia em termos de quantidades por trabalhador; agora, analisamos a economia em termos de quantidades por unidade de trabalhador efetivo.
Fazemos agora com que k = K/(L x E) represente o capital por trabalhador efetivo e y = Y/(L x E) represente a produção por trabalhador efetivo. Com essas definições podemos novamente escrever y = f(k)
A equação que mostra a evolução de k ao longo do tempo passa agora a ser
Δk = sf(k) - (δ + n + g)k
A variação no estoque de capital, Δk, é igual ao investimento sf(k) menos o investimento de equilíbrio (δ + n + g)k. Agora, no entanto, uma vez que k = K/(L x E), o investimento de equilíbrio inclui três termos: para manter k constante, δk é necessário para substituir o capital que esta se depreciando, nk é necessário para fornecer capital aos novos trabalhadores e gk é necessário para proporcionar capital para os novos ''trabalhadores efetivos'' criados pelo progresso tecnológico.
Conforme mostra a figura abaixo, a inclusão do progresso tecnológico não modifica de modo substancial nossa análise sobre o estado estacionário.
Existe um nível de k, representado por k*, no qual o capital por trabalhador efetivo e a produção por trabalhador efetivo são constante. Da mesma maneira que antes, esse estado estacionário representa o equilíbrio da economia no longo prazo.
Os efeitos do progresso tecnológico
A tabela abaixo mostra como quatro variáveis fundamentais se comportam no estado estacionário com progresso tecnológico.
Como acabamos de verificar, o capital por trabalhador efetivo, k, é constante no estado estacionário. Uma vez que y = f(k), o produto por trabalhador efetivo que se comportam de maneira estacionária no estado estacionário.
Tomando como base essas informações, podemos também inferir o que está acontecendo com as variáveis que não estão expressas em termos de unidade por trabalhador efetivo.
Por exemplo, considere a produção por trabalhador efetivo, Y/L = y x E. Uma vez que y é constante no estado estacionário e E está crescendo a uma taxa g, a produção por trabalhador também deve estar crescendo a uma taxa g no estado estacionário. De modo semelhante, a produção total da economia correspondente a Y = y x (E x L). Tendo em vista que y é constante no estado estacionário, E está crescendo a uma taxa g e L está crescendo a uma taxa n, a produção total da economia cresce a uma taxa correspondente a n+g no estado estacionário.
Com o créscimo do progresso tecnológico, nosso modelo consegue, finalmente, explicar os crescimentos sustentáveis nos padrões de vida que observamos. Ou seja, mostramos que o progresso tecnológico pode acarretar o crescimento sustentável do produto por trabalhador. Em contrapartida, uma elevada taxa de poupança acarreta uma alta taxa de crescimento somente até o estado estacionário. Uma vez que a economia se encontre no estado estacionário, a taxa de crescimento do produto por trabalhador depende unicamente da taxa de progresso tecnológico. De acordo com o modelo de Solow, somente o progresso tecnológico é capaz de explicar o crescimento sustentável e padrões de vida persistentes elevados.
A introdução do progresso tecnológico também modifica o critério para a Regra de Ouro. O nível de capital da Regra de Ouro é agora definida como o estado estacionário que maximiza o consumo por trabalhador efetivo. Podemos demonstrar que o consumo no estado estacionário por trabalhador efetivo é
c* = f(k*) - (δ + n + g)k*
O consumo no estado estacionário é maximizado se
PMgK = δ + n + g
ou
PMgK - δ = n + g
Ou seja, no nível de capital da Regra de Ouro, o produto marginal do capital líquido, PMgK - δ, é igual à taxa de crescimento do produto total, n+g.
E é isso!
Espero que tenham entendido tudo! hehehe
Qualquer duvida, so falar nos comentários que eu respondo!
Abraços!
Tomando como base essas informações, podemos também inferir o que está acontecendo com as variáveis que não estão expressas em termos de unidade por trabalhador efetivo.
Por exemplo, considere a produção por trabalhador efetivo, Y/L = y x E. Uma vez que y é constante no estado estacionário e E está crescendo a uma taxa g, a produção por trabalhador também deve estar crescendo a uma taxa g no estado estacionário. De modo semelhante, a produção total da economia correspondente a Y = y x (E x L). Tendo em vista que y é constante no estado estacionário, E está crescendo a uma taxa g e L está crescendo a uma taxa n, a produção total da economia cresce a uma taxa correspondente a n+g no estado estacionário.
Com o créscimo do progresso tecnológico, nosso modelo consegue, finalmente, explicar os crescimentos sustentáveis nos padrões de vida que observamos. Ou seja, mostramos que o progresso tecnológico pode acarretar o crescimento sustentável do produto por trabalhador. Em contrapartida, uma elevada taxa de poupança acarreta uma alta taxa de crescimento somente até o estado estacionário. Uma vez que a economia se encontre no estado estacionário, a taxa de crescimento do produto por trabalhador depende unicamente da taxa de progresso tecnológico. De acordo com o modelo de Solow, somente o progresso tecnológico é capaz de explicar o crescimento sustentável e padrões de vida persistentes elevados.
A introdução do progresso tecnológico também modifica o critério para a Regra de Ouro. O nível de capital da Regra de Ouro é agora definida como o estado estacionário que maximiza o consumo por trabalhador efetivo. Podemos demonstrar que o consumo no estado estacionário por trabalhador efetivo é
c* = f(k*) - (δ + n + g)k*
O consumo no estado estacionário é maximizado se
PMgK = δ + n + g
ou
PMgK - δ = n + g
Ou seja, no nível de capital da Regra de Ouro, o produto marginal do capital líquido, PMgK - δ, é igual à taxa de crescimento do produto total, n+g.
E é isso!
Espero que tenham entendido tudo! hehehe
Qualquer duvida, so falar nos comentários que eu respondo!
Abraços!
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