CESPE - Auditor Federal de Controle Externo/Controle Externo/Auditoria de Obras Públicas/2009

Uma instituição realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentes tipos de itens de consumo. Para cada item i (i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores (xi,yi), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e yi representa o valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram encontrados:

∑i=110(xi+yi)=130       ∑i=110(xi−yi)=10

∑i=110(xi+yi)2=1.790

∑i=110(xi−yi)2=26

     

Com base nessas informações, julgue o item a seguir. Se VA for a variância amostral dos valores x1, x2, ..., x10 e VB for a variância amostral dos valores y1, y2, ..., y10, então a soma VA + VB será maior do que 7.

Resolução:

Na prova original, em um item que vinha antes deste, era necessário calcular as médias de x e y. Assim, para resolver esta questão, o candidato já precisava saber que a média de x vale 7 e que a média de y vale 6. 

Do enunciado sabemos que:

∑i=1n(xi+yi)2=1.790

Desenvolvendo o quadrado da soma:

∑i=1n(x2i+y2i+2xiyi)=1.790

∑i=1n(x2i)+∑i=1n(y2i)+2∑i=1n(xiyi)=1.790

(equação I)

Ainda do enunciado, temos:

∑i=1n(xi−yi)2=26

Desenvolvendo o quadrado da diferença, chegamos a:

∑i=1n(x2i)+∑i=1n(y2i)−2∑i=1n(xiyi)=26

(equação II)

Somando as duas equações:

A variância de x é dada por:

Analogamente, a variância de y é dada por:

σ2y=∑i=110(y2i)10−y¯¯¯2

A questão pede a soma das duas variâncias. Ficamos com

∑i=110(x2i)10−x¯¯¯2+∑i=110(y2i)10−y¯¯¯2

=∑i=110(x2i)+∑i=110(y2i)10−x¯¯¯2−y¯¯¯2

=90810−72−62

=90,8−49−36=5,8

A soma das variâncias não é maior que 7. 

OBSERVAÇÃO:

Estamos trabalhando com variâncias amostrais. Então faltou ainda multiplicar pelo fator (n)/(n-1). De modo que o resultado final fica:

5,8×109=6,444

Abaixo trago o procedimento necessário para calcular as médias de x e y: Para simplificar a escrita, vou omitir os limites do somatório (de 1 a 10).

∑(xi+yi)=130

∑(xi)+∑(yi)=130

 

(equação I)

∑(xi−yi)=10

∑(xi)−∑(yi)=10

(equação II)

Somando as duas equações:

∑(xi)+∑(yi)+∑(xi)−∑(yi)=130+10

2∑(xi)=140


∑(xi)=70

=90,8−49
fbLogo:−36=5,8

Logo:

x¯¯¯=∑xi10=7

Voltando na equação I:

∑(xi)+∑(yi)=130$<span\; style="color:\; white;">\sum </span>$


70+∑(yi)=130


∑(yi)=60

Logo:

Logo:

y¯¯¯=∑yi10=6010=6

Gabarito: Errado