ESAF - Auditor Fiscal da Receita Federal do Brasil/Auditoria/2003

Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Assinale a opção que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria percentílico da amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis.

a) 0,024 

b) 0,300 

c) 0,010 

d) - 0,300 

e) - 0,028

Resolução:

O coeficiente quartílico de assimetria é dado por:

(Q3−Q2)−(Q2−Q1)(Q3−Q1)

Onde Q1, Q2 e Q3 são os quartis.

Pois bem, aqui a questão fala em coeficiente percentílico, baseado nos decis 1, 5 e 9.

Confesso que eu não conhecia este coeficiente. Só fui ver sua cobrança nesta questão da ESAF. Assim, na primeira vez que resolvi a questão, o fiz por analogia. Se o coeficiente quartílico é dado por:

(Q3−Q2)−(Q2−Q1)(Q3−Q1)

então um coeficiente baseado nos decis 9, 5 e 1 ficaria:

(D9−D5)−(D5−D1)(D9−D1)$\frac{}{}$(D9−D5)−(D5−D1)(D9−D1)

Onde D1, D5 e D9 são os decis.

Para encontrarmos a resposta, precisamos, portanto, achar o primeiro decil, o quinto decil, e o nono decil.

As frequências fornecidas já são acumuladas. Não precisamos fazer transformação alguma.

Comecemos encontrando o primeiro decil. O primeiro decil é o valor que não é superado por 10% das observações. Como temos 100 observações, o primeiro decil é o valor que não é superado por 10 observações.

Da tabela de frequências acumuladas, temos:

4.000 corresponde à frequência 5.

D1 corresponde à frequência 10.

6.000 corresponde à frequência 16.

Agora fazemos a subtração entre as linhas:

D1−4.000       10−5

6.000−4.000   16−5

A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais:

D1−4.0006.000−4.000=10−516−5

D1−4.0002.000=511

D1=10.00011+4.000

D1≈4.909

Agora vamos encontrar o quinto decil. O quinto decil é o valor que não é superado por 50% observações. Coincide com a mediana.

8.000 corresponde à frequência acumulada 42

D5 corresponde à frequência acumulada 50

10.000 corresponde à frequência acumulada 77.

Vamos mais rápido agora. Vamos direto para a interpolação linear (já efetuando a subtração entre as linhas e as proporções):

D5−8.00010.000−8.000=50−4277−42$\frac{{\mathrm{<span\; style="color:\; white;">D</span>}}_{}}{}$

D5−8.0002.000=835

D5=2.000×835+8.000

D5≈8.457

Por fim, o nono decil. O nono decil não é superado por 90% das observações.

O valor 12.000 corresponde à frequência acumulada 89.

O valor D9 corresponde à frequência acumulada 90.

O valor 14.000 corresponde à frequência acumulada 100

Aplicando a interpolação linear:

D9−12.00014.000−12.000=90−89100−89

D9−12.0002.000=111

D9≈12.182

Agora que calculamos os decis, podemos voltar à fórmula do coeficiente de assimetria:

(D9−D5)−(D5−D1)(D9−D1)$\frac{<span\; style="color:\; white;">)</span>}{}$

=(12.182−8.457)−(8.457−4.909)(12.182−4.909)

=1777.273$=\frac{177}{7.273}$

≈0,024

Gabarito: Letra A