Estatística

ESAF - Auditor Fiscal da Receita Federal do Brasil/Auditoria/2003

Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Assinale a opção que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria percentílico da amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis.

a) 0,024

b) 0,300

c) 0,010

d) - 0,300

e) - 0,028

Resolução:

O coeficiente quartílico de assimetria é dado por:

\frac{(Q_{3} - Q_{2}) - (Q_{2} - Q_{1})}{(Q_{3} - Q_{1})}

Onde Q1, Q2 e Q3 são os quartis.

Pois bem, aqui a questão fala em coeficiente percentílico, baseado nos decis 1, 5 e 9.

Confesso que eu não conhecia este coeficiente. Só fui ver sua cobrança nesta questão da ESAF. Assim, na primeira vez que resolvi a questão, o fiz por analogia. Se o coeficiente quartílico é dado por:

\frac{(Q_{3} - Q_{2}) - (Q_{2} - Q_{1})}{(Q_{3} - Q_{1})}

\frac{(Q_{3} - Q_{2}) - (Q_{2} - Q_{1})}{(Q_{3} - Q_{1})}

então um coeficiente baseado nos decis 9, 5 e 1 ficaria:

\frac{(D_{9} - D_{5}) - (D_{5} - D_{1})}{(D_{9} - D_{1})}

Onde D1, D5 e D9 são os decis.

Para encontrarmos a resposta, precisamos, portanto, achar o primeiro decil, o quinto decil, e o nono decil.

As frequências fornecidas já são acumuladas. Não precisamos fazer transformação alguma.

Comecemos encontrando o primeiro decil. O primeiro decil é o valor que não é superado por 10% das observações. Como temos 100 observações, o primeiro decil é o valor que não é superado por 10 observações.

Da tabela de frequências acumuladas, temos:

4.000 corresponde à frequência 5.

D1 corresponde à frequência 10.

6.000 corresponde à frequência 16.

Agora fazemos a subtração entre as linhas:

D_{1} - 4.000

10 - 5

6.000 - 4.000

16 - 5

16 - 5

A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais:

\frac{D_{1} - 4.000}{6.000 - 4.000} = \frac{10 - 5}{16 - 5}

\frac{D_{1} - 4.000}{2.000} = \frac{5}{11}

D_{1} = \frac{10.000}{11} + 4.000

D_{1} \approx 4.909

D_{1} \approx 4.909

Agora vamos encontrar o quinto decil. O quinto decil é o valor que não é superado por 50% observações. Coincide com a mediana.

8.000 corresponde à frequência acumulada 42

D5 corresponde à frequência acumulada 50

10.000 corresponde à frequência acumulada 77.

Vamos mais rápido agora. Vamos direto para a interpolação linear (já efetuando a subtração entre as linhas e as proporções):

\frac{D_{5} - 8.000}{10.000 - 8.000} = \frac{50 - 42}{77 - 42}

\frac{D_{5} - 8.000}{2.000} = \frac{8}{35}

D_{5} = \frac{2.000 \times 8}{35} + 8.000

D_{5} \approx 8.457

D_{5} \approx 8.457

Por fim, o nono decil. O nono decil não é superado por 90% das observações.

O valor 12.000 corresponde à frequência acumulada 89.

O valor D9 corresponde à frequência acumulada 90.

O valor 14.000 corresponde à frequência acumulada 100

Aplicando a interpolação linear: