FCC - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4/2006

Em uma instituição bancária, o salário médio dos 100 empregados do sexo masculino é de R$ 1.500,00, com desvio padrão de R$ 100,00. O salário médio dos 150 empregados do sexo feminino é de R$ 1.000,00, com desvio padrão de R$ 200,00. A variância em (R$)² dos dois grupos reunidos é de 

a) 25.600,00 

b) 28.000,00 

c) 50.000,00 

d) 62.500,00 

e) 88.000,00

Resolução:

Para simplificar os cálculos, vamos dividir todos os salários por 100.

Assim, após esta modificação, teremos:

Homens: Média = 15; desvio padrão = 1

Mulheres: Média = 10; desvio padrão = 2

Sejam H e M as variáveis que representam os salários dos homens e das mulheres, respectivamente (após a divisão por 100).

Seja X a variável que representa os salários de homens e mulheres reunidos.

1º passo: calculamos a média de X.

A média de X é uma média ponderada entre as médias de H e M. Os pesos de ponderação são as quantidades de homens e mulheres.

X¯¯¯¯=H¯¯¯¯¯×100+M¯¯¯¯¯¯×150100+250

X¯¯¯¯=15×100+10×150100+250

X¯¯¯¯=3000250

Multiplicando numerador e denominador por 4, para que surja uma divisão por 1.000:

X¯¯¯¯=12.0001.000=12

A média salarial de todos os funcionários é de 12,00 (isso considerando os salários ajustados, divididos por 100).

2º passo: calculamos a média de X².

Este segundo passo é dividido em três sub-etapas.

2.1: Calculamos a média de H².

V(H)=H2¯¯¯¯¯¯¯−H¯¯¯¯¯2

O desvio padrão de H é 1. Logo, a variância é igual a 1.

1=H2¯¯¯¯¯¯¯−152

H2¯¯¯¯¯¯¯=152+1=226

2.2: Calculamos a média de M².

V(M)=M2¯¯¯¯¯¯¯¯−M¯¯¯¯¯2

O desvio padrão de M é 2. Logo, a variância vale 4.

4=M2¯¯¯¯¯¯¯¯−102$\mathrm{<span\; style="color:\; white;">4</span>}$


M2¯¯¯¯¯¯¯¯=104

2.3: Calculamos a média de X2. Ela é dada pela média ponderada entre 

X2¯¯¯¯¯¯¯=H2¯¯¯¯¯¯¯¯×100+M2¯¯¯¯¯¯¯¯¯×150100+150

X2¯¯¯¯¯¯¯=226×100+104×150250

X2¯¯¯¯¯¯¯=152,8

3º passo: calculamos a variância de X:

V(X)=X2¯¯¯¯¯¯¯−X¯¯¯¯2

V(X)=152,8−122

V(X)=152,8−144=8,8

Lá no início da resolução, dividimos todos os dados por 100. Pelas propriedades da variância, sabemos que esta foi dividida por 100².

Assim, para encontrar a variância dos dados originais, sem a divisão por 100, temos que multiplicar o resultado acima por 100².

8,8×1002=88.000

Gabarito: Letra E