FCC - Analista (CNMP)/Apoio Técnico Especializado/Estatística/2015

A função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é dada por:

f(x)={Kx,se0<x<20,casocontrario}

onde k é uma constante apropriada para garantir que f(x) seja uma função densidade de probabilidade. Selecionando-se, aleatoriamente e com reposição, 5 valores de X dentro do intervalo 0 < x < 2, a probabilidade de que exatamente 3 sejam inferiores a 1 é igual a

a) 18/256

b) 9/64

c) 11/128

d) 23/256

e) 45/512

Resolução:

Primeiro vamos calcular o valor da constante "k". A variável aleatória só assume valores no intervalo onde a função densidade de probabilidade (fdp) é maior do que zero. Portanto, a probabilidade da v.a. assumir valores entre 0 e 2 é igual a 1:

∫02f(x)dx=1

∫02Kxdx=[Kx22]20=1

2K=1

K=12

Vamos calcular a probabilidade de X ser menor que 1.

P(X≤1)=∫0112xdx=[x24]10$\mathrm{<span\; style="color:\; white;">P</span>}$

P(X≤1)=14

E portanto:

P(X≥1)=34

Agora considere a sequência abaixo para os valores de X quando comparados a 1:

menor,menor,menor,maior,maior

A probabilidade de obtermos essa sequência é dada por:

=14×14×14×34×34=91024

Porém esta não é a única sequência que atende ao enunciado. Precisamos permutar os 5 elementos, com repetição de 3 e 2 elementos.

P3,25=5!3!2!=10

Então, selecionando-se, aleatoriamente e com reposição, 5 valores de X dentro do intervalo 0 < x < 2, a probabilidade de que exatamente 3 sejam inferiores a 1 é igual a:

=91024×10=901024

=45512

Gabarito: Letra E