FCC - Analista (CNMP)/Apoio Técnico Especializado/Estatística/2015

A função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é dada por:

f (x) = {\begin{matrix} K x, s e 0 < x < 2 \\ 0, c a s o c o n t r a r i o \end{matrix}}

onde k é uma constante apropriada para garantir que f(x) seja uma função densidade de probabilidade. Selecionando-se, aleatoriamente e com reposição, 5 valores de X dentro do intervalo 0 < x < 2, a probabilidade de que exatamente 3 sejam inferiores a 1 é igual a

a) 18/256

b) 9/64

c) 11/128

d) 23/256

e) 45/512

Resolução:

Primeiro vamos calcular o valor da constante "k". A variável aleatória só assume valores no intervalo onde a função densidade de probabilidade (fdp) é maior do que zero. Portanto, a probabilidade da v.a. assumir valores entre 0 e 2 é igual a 1:

\int_{0}^{2} f (x) d x = 1

\int_{0}^{2} K x d x = {[\frac{K x^{2}}{2}]}_{0}^{2} = 1

2 K = 1

K = \frac{1}{2}

Vamos calcular a probabilidade de X ser menor que 1.

P (X \leq 1) = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x = {[\frac{x^{2}}{4}]}_{0}^{1}

P (X \leq 1) = \frac{1}{4}

E portanto:

P (X \geq 1) = \frac{3}{4}

Agora considere a sequência abaixo para os valores de X quando comparados a 1:

menor,menor,menor,maior,maior

A probabilidade de obtermos essa sequência é dada por:

Porém esta não é a única sequência que atende ao enunciado. Precisamos permutar os 5 elementos, com repetição de 3 e 2 elementos.

Então, selecionando-se, aleatoriamente e com reposição, 5 valores de X dentro do intervalo 0 < x < 2, a probabilidade de que exatamente 3 sejam inferiores a 1 é igual a: