CESPE - Técnico (FINEP)/Apoio Administrativo/2009

Considerando que, de uma urna que contém 3 bolas amarelas, 5 bolas brancas e 4 bolas vermelhas, 6 bolas sejam escolhidas aleatoriamente, sem reposição, assinale a opção correta. 

a) A probabilidade de que a escolha contenha duas bolas de cada cor é maior que 20%. 

b) A probabilidade de que a escolha não contenha bolas brancas é maior que 1%. 

c) O número esperado de bolas vermelhas na escolha é igual a 4. 

d) A probabilidade de que o número de bolas vermelhas na escolha seja igual ao número de bolas brancas é de 5/21. 

e) A probabilidade de que a escolha contenha todas as 5 bolas brancas é maior que 1%.

Resolução:

Alternativa A

Casos possíveis: escolhemos 6 bolas quaisquer entre as 12.

Número de casos possíveis: combinação de 12 bolas, tomadas 6 a 6.

C12,6

=12×11×10×9×8×76×5×4×3×2

=11×3×4×7

=924

Casos favoráveis: escolhemos 2 bolas de cada cor.

Número de casos favoráveis:

• precisamos escolher 2 das 3 bolas brancas: combinação de 3 elementos, tomados 2 a 2 = C3,2=3
• precisamos escolher 2 das 5 bolas brancas: combinação de 5 elementos, tomados 2 a 2 = C5,2=10
• precisamos escolher 2 das 4 bolas vermelhas: combinação de 4 elementos, tomados 2 a 2 = C4,2=6

Número de casos favoráveis: 3×10×6=180

Probabilidade:

180924

≈19,48%

A probabilidade é menor que 20%. Alternativa incorreta.

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Alternativa B

Probabilidade de não retirar bola branca na primeira extração (A1):

• temos 12 bolas, sendo 7 não brancas
• P(A1)=712

Probabilidade de não retirar bola branca na segunda extração (A2), dado que na primeira não houve bola branca:

• sobraram 11 bolas, sendo 6 não brancas
• P(A2|A1)=611

Com o mesmo raciocínio, calculamos a chance de não retirar bola branca na terceira (A3), na quarta (A4), na quinta (A5) e na sexta extrações (A6), dado que nas vezes anteriores não foi retirada bola branca.

P(A3|A2,A1)=510

P(A4|A3,A2,A1)=49

P(A5|A4,A3,A2,A1)=38

P(A6|A5,A4,A3,A2,A1)=27

A probabilidade da intersecção de todos esses eventos é igual ao produto dos valores acima:

712×611×510×49×38×27

=1132

A probabilidade é inferior a 1%. Alternativa incorreta.

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Alternativa C.

Pede-se o número esperado de bolas vermelhas.

A proporção populacional de bolas vermelhas é:

p=412=13

O número de bolas vermelhas na amostra segue uma distribuição hipergeométrica, de parâmetros n=6 e p=13.

Lembrando que n é o tamanho da amostra e p$p$ é a proporção populacional de bolas vermelhas.

A esperança da distribuição hipergeométrica é dada por:

E=np

E=6×13=2

Esperamos 2 bolas vermelhas na amostra.

Alternativa incorreta.

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Alternativa D.

Para que o número de bolas vermelhas seja igual ao de brancas, podemos ter:

• 3 bolas brancas e 3 bolas vermelhas
• 2 bolas brancas, 2 bolas vermelhas, e 2 amarelas (já foi calculado na letra A e vale 180/924)

Vamos calcular a chance de 3 brancas e 3 vermelhas.

Número de casos possíveis: 924 (calculado na letra A)

Número de casos favoráveis:

• escolha das bolas brancas: combinação de 5 brancas, tomadas 3 a 3: C5,3=10
• escolha das bolas vermelhas: combinação de 4 vermelhas, tomadas 3 a 3: C4,3=4
• casos favoráveis: 10×4=40

Probabilidade:

P=40924

Probabilidade total:

180924+40924

=220924

Dividindo numerador e denominador por 44:

=521

Alternativa correta.

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Alternativa E.

A estrutura de cálculo é similar à da letra B.

Vamos supor que extraímos, nessa ordem, 5 brancas e 1 não-branca.

• Primeira extração - temos 12 bolas ao todo e 5 brancas. A chance de extrair branca é 5/12
• Segunda extração - sobram 11 bolas, sendo 4 brancas. A chance de extrair branca é 4/11
• terceira extração - sobram 10 bolas, sendo 3 brancas. Probabilidade = 3/10
• quarta extração - sobram 9 bolas, sendo 2 brancas. Probabilidade = 2/9
• quinta extração - sobram 8 bolas, sendo 1 branca. Probabilidade = 1/8
• sexta extração - só sobram bolas não-brancas. Chance de escolher bola não-branca = 1

Multiplicando tudo, temos:

512×411×310×29×18

=1792

Só que a bola não-branca poderia ter saído em qualquer outra extração. Então temos que multiplicar o resultado acima por 6:

6792=1132

O resultado é menor que 1%. Alternativa incorreta.

Gabarito: Letra D