CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3/2009

Sejam duas variáveis aleatórias X e Y com variâncias finitas e não zero. O coeficiente de correlação entre essas duas variáveis é

ρ=Cov(X,Y)σX×σY

onde

ρ = coeficiente de correlação entre X e Y;

cov(X, Y) = covariância entre X e Y;

σX e σY e são, respectivamente, desvio padrão de X e desvio padrão de Y.

Considerando essas informações, analise as proposições a seguir.

I - Se a e b são constantes, 

Cov(X,Y)=12ab×[Var(aX+bY)−(a2Var(X)+b2Var(Y))]

II - Se ρ=−1, (XσX+YσY)

 
III - Se cov(X,Y) = 0, então ρ=0 e X e Y são estocasticamente independentes.

É(São) correta(s) APENAS a(s) proposição(ões)

a) I. 

b) II 

c) I e II. 

d) I e III. 

e) II e III.

Resolução:

Item I.

Foi dada a seguinte expressão:

12ab×[Var(aX+bY)−(a2Var(X)+b2Var(Y))]

Aplicando a fórmula da variância da soma:

12ab×[Var(aX)+Var(bY)+2Cov(aX,bY)−(a2Var(X)+b2Var(Y))]

Quando multiplicamos uma variável por uma constante, a variância é multiplicada pela constante ao quadrado.

12ab×[a2Var(X)+b2Var(Y)+2Cov(aX,bY)−(a2Var(X)+b2Var(Y))]

Simplificando os termos de sinal contrário:

12ab×2Cov(aX,bY)

Quando multiplicamos uma variável por uma constante, a covariância fica multiplicada por esta constante:

12ab×2×a×Cov(X,bY)
12ab×2×a×b×Cov(X,Y)

Simplificando o termo 2ab, que aparece no numerador e no denominador:

=Cov(X,Y)

Item correto.


Item II

O item está nos dizendo que a soma

XσX+YσY

não é aleatória.

Para simplificar os comentários, seja Z tal que:

Z=XσX+YσY

Neste caso, tomamos a variável X e dividimos por uma constante (σX ). 

Tomamos a variável Y e dividimos por outra constante (σY).

Desde que temos uma combinação de duas variáveis aleatórias, em princípio, o resultado (=Z) também será aleatório.

Vamos calcular a variância de Z

Se a variância for nula, é porque Z não varia. Ou seja, é sempre constante. Neste caso, de fato não será aleatório.

Se a variância for diferente de 0, é porque Z varia. E como depende de duas variáveis aleatórias, Z também será uma variável aleatória.

V(Z)=V(XσX+YσY)

Aplicando a fórmula da variância da soma: 

V(Z)=V(XσX)+V(YσY)+2Cov(XσX,YσY)

Quando dividimos uma variável por uma constante, a variância é dividida pela constante ao quadrado:

V(Z)=V(X)σ2X+V(Y)σ2Y+2Cov(XσX,YσY)

Quando dividimos uma variável por uma constante, a covariância fica dividida pela mesma constante.

V(Z)=V(X)σ2X+V(Y)σ2Y+2Cov(X,Y)σX×σY

No primeiro termo da soma, temos a variância de X, dividida pela própria variância de X. Quando o numerador é igual ao denominador, o resultado é 1.

V(Z)=1+V(Y)σ2Y+2Cov(X,Y)σX×σY

No segundo termo da soma, temos a variância de Y dividida pela variância de Y. Novamente, o resultado é 1.

V(Z)=1+1+2Cov(X,Y)σX×σY

O item disse que:

ρ=−1

Aplicando a fórmula do coeficiente de correlação:

ρ=Cov(X,Y)σX×σY

−1=Cov(X,Y)σX×σY

Cov(X,Y)=−σX×σY (equação II)

Substituindo II em I:

V(Z)=1+1+2(−σX×σY)σX×σY

V(Z)=1+1−2=0

Ou seja, Z não tem dispersão, Z não varia. Logo, Z é uma constante. Realmente não é algo aleatório.

Item correto.

Item III

O item afirma duas coisas:

- se a covariância é nula, o coeficiente de correlação é nulo

- o resultado final é que X e Y são independentes.

De fato, sempre que a covariância for nula, a correlação também será nula.

Basta ver que:

ρ=Cov(X,Y)σX×σY

Se o numerador for nulo (covariância nula), o resultado da fração (= ρ$\rho$) também será nulo.

A primeira parte da frase está correta.

Quanto à segunda parte, ela está errada.

O fato de a covariância ser nula não garante variáveis independentes.

Item errado.

Resposta: Letra C