CESGRANRIO - Profissional Básico (BNDES)/Engenharia/2011

As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias iguais e possuem coeficiente de correlação igual a 0,2. O coeficiente de correlação entre as variáveis aleatórias X e 5X – 2Y é

a) – 0,35 

b) – 0,2 

c) 0,1 

d) 0,56 

e) 0,92

Resolução:

Seja V a variância de X, que por sua vez coincide com a variância de Y.

Seja cov a covariância entre X e Y.

O coeficiente de correlação (ρ) é igual a 0,2. Portanto:

ρ=covV√×V√

0,2=covV

cov=0,2V...(I)

Agora vamos calcular a variância de 5X−2Y:

Var(5X−2Y)=Var(5X)+Var(2Y)−2×cov(5X,2Y)

=25Var(X)+4Var(Y)−2×5×2×cov(X,Y)

Substituindo o resultado obtido em (I):

=25V+4V−20×0,2V

=25V

Agora calculamos a covariância entre X e 5X−2Y:

cov(X,5X−2Y)=E(x×(5x−2y))

Onde:

• x=X−μX
• y=Y−μY

Continuando:

cov(X,5X−2Y)=E(x×(5x−2y))

 

=E(5x2−2xy)=E(5x2)−2E(xy)

=5E(x2)−2E(xy)

=5×Var(X)−2×cov(X,Y)

=5V−2×0,2V=4,6V

Finalmente, a correlação entre X$X$ e 5X−2Y é igual à covariância, acima calculada, dividida pelo produto dos desvios padrão destas variáveis:

4,6VV√×25V√=4,6V5V=4,65=0,92

 

Gabarito: Letra E