Estatística

ESAF - Analista de Finanças e Controle (CGU)/Auditoria e Fiscalização/Estatística e Cálculos Atuariais/2008

Apesar de uma característica numérica supostamente possuir distribuições com variâncias diferentes em duas populações distintas, deseja-se testar a hipótese estatística da igualdade das duas médias. Assim, da primeira população retira-se uma amostra aleatória simples de tamanho 9 e da segunda população retira-se outra amostra aleatória simples independente de tamanho 16. A característica medida na amostra da primeira população tem média 83 e desvio-padrão amostral 7, enquanto a característica medida na amostra da segunda população tem média 81 e desvio-padrão amostral 8. Obtenha o valor mais próximo do erro padrão da diferença estimada entre as médias.

a) 1,05

b) 1,92

c) 2,26

d) 2,82

e) 3,07

Resolução:

Sejam X e Y as variáveis que designam as duas populações.

Seja Z a variável que representa a diferença entre as estimativas das médias:

Z = \bar{X} - \bar{Y}

A questão pede o desvio padrão de Z.

Temos:

V (Z) = V (\bar{X} - \bar{Y})

Quando as variáveis são independentes, a variância da diferença é a soma das variâncias.

V (Z) = V (\bar{X}) + V (\bar{Y})

Como não conhecemos as variâncias das médias amostrais, calculamos suas estimativas, com base nas amostras. Assim, obteremos uma estimativa para a variância de Z:

s_{Z}^{2} = s_{\bar{X}}^{2} + s_{\bar{Y}}^{2}

s_{Z}^{2} = \frac{s_{X}^{2}}{n_{X}} + \frac{s_{Y}^{2}}{n_{Y}}

Onde nx e ny representam os tamanhos das amostras de X e Y.

s_{Z}^{2} = \frac{49}{9} + \frac{64}{16}

s_{Z}^{2} = \frac{49 \times 16 + 64 \times 9}{9 \times 16}

s_{Z}^{2} = \frac{1.360}{9 \times 16}

s_{Z} = \sqrt{\frac{1.360}{9 \times 16}}

s_{Z} = \frac{\sqrt{1.360}}{3 \times 4}

Para cálculo da raiz quadrada de 1.360, podemos utilizar o cálculo aproximado da raiz quadrada.

Primeiro determinamos um quadrado perfeito próximo de 1.360. No caso, 1.296 é igual a 362.

Em seguida, fazemos a seguinte conta: somamos o número para o qual desejamos calcular a raiz (1.360) com o quadrado perfeito próximo (1.296), e dividimos pelo dobro da raiz do quadrado perfeito (raiz de 1.296):