ESAF - Analista de Finanças e Controle (CGU)/Auditoria e Fiscalização/Estatística e Cálculos Atuariais/2008

Apesar de uma característica numérica supostamente possuir distribuições com variâncias diferentes em duas populações distintas, deseja-se testar a hipótese estatística da igualdade das duas médias. Assim, da primeira população retira-se uma amostra aleatória simples de tamanho 9 e da segunda população retira-se outra amostra aleatória simples independente de tamanho 16. A característica medida na amostra da primeira população tem média 83 e desvio-padrão amostral 7, enquanto a característica medida na amostra da segunda população tem média 81 e desvio-padrão amostral 8. Obtenha o valor mais próximo do erro padrão da diferença estimada entre as médias.

a) 1,05

b) 1,92

c) 2,26

d) 2,82

e) 3,07

Resolução:

Sejam X e Y as variáveis que designam as duas populações.

Seja Z a variável que representa a diferença entre as estimativas das médias:

Z=X¯¯¯¯−Y¯¯¯¯

A questão pede o desvio padrão de Z.

Temos:

V(Z)=V(X¯¯¯¯−Y¯¯¯¯)

Quando as variáveis são independentes, a variância da diferença é a soma das variâncias.

V(Z)=V(X¯¯¯¯)+V(Y¯¯¯¯)

Como não conhecemos as variâncias das médias amostrais, calculamos suas estimativas, com base nas amostras. Assim, obteremos uma estimativa para a variância de Z:

s2Z=s2X¯¯¯¯¯+s2Y¯¯¯¯

s2Z=s2XnX+s2YnY

Onde nx e ny representam os tamanhos das amostras de X e Y.

s2Z=499+6416

s2Z=49×16+64×99×16

s2Z=1.3609×16

sZ=1.3609×16−−−−√

sZ=1.360√3×4

Para cálculo da raiz quadrada de 1.360, podemos utilizar o cálculo aproximado da raiz quadrada.

Primeiro determinamos um quadrado perfeito próximo de 1.360. No caso, 1.296 é igual a 362.

Em seguida, fazemos a seguinte conta: somamos o número para o qual desejamos calcular a raiz (1.360) com o quadrado perfeito próximo (1.296), e dividimos pelo dobro da raiz do quadrado perfeito (raiz de 1.296):

1.360+1.2962×1.296√

=1.360+1.29636≈36,88

Esta é a aproximação para a raiz de 1.360.

Continuando com o cálculo:

sZ≈36,8812≈3,07

Resposta: Letra E