FCC - Analista Judiciário (TRT 16ª Região)/Apoio Especializado/Estatística/2014

Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional contínua com função densidade de probabilidade dada por:

 

 

Nessas condições, a esperança condicional de Y dado x, denotada por E(Y x) é igual a

a) x

b) 2x

c) -1

d) 1/3

e) (1/3)x

Resolução:

De modo geral, a esperança condicional é dada por:

 

E(Y|X)=∫−∞+∞y⋅fY|X(x,y)dy

 

onde  fY|X(x,y)  é a função densidade condicional obtida dividindo-se f(x,y) pela função densidade de probabilidade marginal de X. 

 

fY|X(x,y)=f(x,y)fX(x)

 

Função densidade conjunta:

 

f(x,y)=4x(1−y)

 

Função densidade de probabilidade marginal de X:

 

Só precisamos integrar nos limites 0 < y < 1 pois Y só assume valores neste intervalo. Basta notar que f(x,y) = 0 para valores fora desse intervalo.

 

fX(x)=∫014x(1−y)dy=[4x(y−y22)]

 

fX(x)=2x

 

Portanto, a função densidade condicional fica:

 

fY|X=4x(1−y)2x=2(1−y)

 

Finalmente, a esperança condicional fica:

 

E(Y|X)=∫01y⋅2(1−y)dy=∫012(y−y2)dy

 

=2[y22−y33]10

 

=2[12−13]

 

=13

Gabarito: Letra D