CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013

Em um estudo estatístico, uma amostra aleatória simples X1,X2,⋯,Xn, foi retirada de uma população cuja função de distribuição de probabilidade é P(X=k)=Ce−θk, em que C representa o fator de normalização, e é o número de Neper (ou de Euler), θ>0denota o parâmetro da distribuição e k=0,1,2,…

Acerca dessas informações, e considerando que 

X¯¯¯¯=X1+X2+⋯+Xnn seja a média amostral, julgue o próximo item.

 

A média amostral X¯¯¯¯ é o estimador de máxima verossimilhança do fator de normalização C.

Resolução:

O primeiro passo é calcular o valor de C.

A soma das probabilidades para todos os possíveis valores de X vale 1. Logo:

 

 

 

Entre parênteses temos uma soma de infinitos termos.

 

Trata-se de uma progressão geométrica (PG), de razão

 

 

e de primeiro termo 

 

 

Vejam que a razão é um número entre 0 e 1.

 

A soma dos infinitos termos de uma PG que tem razão entre 0 e 1 é dada por:

 

 

Substituindo este resultado na equação anterior:

 

 

 

A função de verossimilhança para a ocorrência da amostra X1,X2,⋯,Xn é dada por:

 

 

 

 

 

 

Queremos maximizar tal função. Nosso trabalho é derivar em relação a θ e igualar a zero.

 

 

Derivando a função L e igualando a zero:

 

 

Dividindo todos os termos por (1−e−θ)n−1

 

 

Dividindo todos os termos por e−θ×∑Xi:

 

 

 

 

 

Multiplicando os dois lados da igualdade por (-1) e somando com 1, temos:

 

 

Do lado esquerdo da igualdade surgiu a constante "C":

 

 

 

Dividindo numerador e denominador por "n" aparecerá a média amostral:

 

 

A estimativa de máxima verossimilhança é diferente daquela dada na questão.

Gabarito: Errado