FCC - Analista Judiciário (TRT 1ª Região)/Apoio Especializado/Estatística/2011

A função densidade de uma população X é dada por

f(x)={(a+1)xa0se 0≤x≤1em caso contrario

Com base em uma amostra aleatória de 5 elementos {x1, x2, x3, x4, x5} desta população, em que ln (x1 . x2 . x3 . x4 . x5) = − 4 (observação: ln é o logaritmo neperiano), tem-se que pelo método da máxima verossimilhança o valor da estimativa de a é

a) 0,125. 

b) 0,250. 

c) 0,320. 

d) 0,400. 

e) 0,625.

Resolução:

A função de verossimilhança é dada por:

L=f(x1)×f(x2)×f(x3)×f(x4)×f(x5)

L=((α+1)×xα1)×((α+1)×xα2)×⋯×(α+1)×xα5

L=(α+1)5×(x1×x2×x3×x4×x5)α
 

Foi dito que:

ln(x1×x2×x3×x4×x5)=−4

Portanto:

x1×x2×x3×x4×x5=e−4

 
Continuando:
 

L=(α+1)5×(x1×x2×x3×x4×x5)α

L=(α+1)5×(e−4)α

L=(α+1)5×e−4α
 

Para encontrar o estimador de máxima verossimilhança de α, temos que maximizar a função acima. Para tanto, derivamos e igualamos a zero:

dLdα=5×(α+1)4×e−4α+(α+1)5×e−4α×(−4)=0

5×(α+1)4+(α+1)5×(−4)=0

Uma primeira solução é: α+1=0→α=−1

Descartamos essa solução, pois assim f valeria sempre 0, em toda reta real.
 
Dividindo ambos os lados da igualdade por (α+1)4:

5×+(α+1)×(−4)=0

α+1=54=1,25

α=0,25

Resposta: Letra B