CESPE - Analista Judiciário (TST)/Apoio Especializado/Estatística/2008

Um estudo sobre a segmentação do mercado de trabalho comparou o salário daquele que trabalha por conta própria (Y, em R$ mil) com o salário daquele que tem a carteira assinada (X, em R$ mil). Foi ajustado um modelo de regressão linear na forma Y=ax+b+ε, em que a e b são os coeficientes do modelo e ε representa um erro aleatório com média zero e desvio-padrão σ. As estimativas de mínimos quadrados ordinários para os coeficientes a e b foram respectivamente iguais a 0,5 e R$ 6 mil. A quantidade de observações utilizadas para o ajuste do modelo foi igual a 400, e os desvios-padrão amostrais de Y e X foram, respectivamente, iguais a R$ 2 mil e R$ 1,5 mil. 

Com base nessas informações, julgue o item subseqüente.

Considere-se a reta que passa na origem Y=λ×+δ, em que δ representa um erro aleatório com média zero e desvio-padrão constante. Nesse caso, se a média de X for igual a R$ 5 mil, então a estimativa de mínimos quadrados para o coeficiente λ será inferior a 0,5.

Resolução:

Quando a reta de regressão passa pela origem, sendo da forma Y=λx+δ, a estimativa para λ é calculada pela seguinte expressão (para simplificar a notação, não incluirei os limites dos somatórios, cujos índices se subentendem variando de 1 a n):

λ^=∑xiyi∑x2i .... (1)

Foi dito que x¯¯¯=R$5mil e deseja-se saber se λ^<0,5.

No caso de a reta de regressão ser da forma Y=ax+b+ϵ, a estimativa de a e b, simbolizadas por a^ e b^, são tais que

a^=n∑xiyi−∑xi∑yin∑x2i−(∑xi)2 .... (2)

e

b^=y¯¯¯−a^x¯¯¯  .... (3)

Do enunciado, temos que n=400, a^=0,5 e b^=R$6mil. 

Vale lembrar que as variáveis X e Y nas equações de regressão são dadas em "R$ mil", o que significa que ao substituirmos, por exemplo, o valor de b^ devemos usar apenas 6 e não 6.000.

Partindo da equação (3), temos

6=y¯¯¯−0,5×5

y¯¯¯=8,5

Isso significa que y¯¯¯=R$8,5mil.

Sabemos que 

x¯¯¯=∑xin

e

y¯¯¯=∑yin

Substiuindo os valores que já conhecemos, temos

5=∑xi400→∑xi=2.000

e

8,5=∑yi400→∑yi=3.400

Substituindo os valores conhecido na expressão (2), temos

0,5=400∑xiyi−2.000×3.400400∑x2i−2.0002

Dividindo o numerador e o denominador da fração à direita por 400, resulta

0,5=∑xiyi−5×3.400∑x2i−5×2000

Desenvolvendo a expressão, temos

0,5∑x2i−5.000=∑xiyi−17000

∑xiyi=0,5∑x2i=12.000

Dividindo ambos os membros por ∑x2i, temos

∑xiyi∑x2i=0,5+12.000∑x2i

Usando a expressão (1),

λ^=0,5+12.000∑x2i .... (4)

Como ∑x2i>0, pois é a soma de quadrados e a média dos xi é maior que zero, então 12.000∑x2i>0. Isso nos permite concluir que o lado direito da expressão (4) é maior que 0,5, de onde concluímos que λ^>0,5.

Portanto, nas condições do item, a estimativa para o coeficiente λ é superior a 0,5.

Gabarito: Errado