FCC - Analista (CNMP)/Apoio Técnico Especializado/Estatística/2015

Atenção: Para responder à questão, considere o modelo linear Yi = α + βXi + εi , sendo i a i-ésima observação, Yi a variável dependente na observação i, Xi a variável explicativa na observação i e εi o erro aleatório com as respectivas hipóteses para a regressão linear simples. Os parâmetros α e β são desconhecidos e suas estimativas (a e b, respectivamente) foram obtidas pelo método dos mínimos quadrados e com base em 20 pares de observações ( Xi , Yi ), i = 1, 2, ... , 20. Sabe-se que os pontos (10 ; 9,8) e (40 ; 33,8) pertencem à reta de equação Y = a + bX.

 

Dados:

∑20i=1Xi=600,00,∑20i=1XiYi=15720,00e∑20i=1Y2i=13.612,80

 

O valor de S, em que X¯¯¯¯ é o valor médio dos 20 valores observados para X tal que S=∑20i=1(Xi−X¯¯¯¯)2 é igual a

a) 210,00. 

b) 270,00. 

c) 240,00. 

d) 300,00. 

e) 192,00.

Resolução:

Sejam "a" e "b" os estimadores de α e β. Substituindo os pontos fornecidos pelo enunciado, podemos montar um sistema e descobrir os valores de "a" e "b".

 

Y=a+bX

 

Ponto (10 ; 9,8):

 

9,8=a+b⋅10

 

 

a=9,8−b⋅10

 

 

Ponto (40 ; 33,8):

 

33,8=a+b⋅40

 

 

Substituindo "a" na segunda equação:

 

 

33,8=9,8 − b⋅10 + b⋅40

 

 

24=b⋅30

 

 

b=0,8

 

 

Portanto:

 

9,8=a + 0,8⋅10

 

 

9,8=a + 8

 

 

a=1,8

 

 

 

Agora basta calcular Y¯¯¯¯:

 

 

Y¯¯¯¯=a+b⋅X¯¯¯¯

 

 

Onde:

 

 

X¯¯¯¯=∑20i=1Xin=60020=30

 

Logo:

 

Y¯¯¯¯=1,8+0,8⋅30

 

 

Y¯¯¯¯=1,8+24

 

 

Y¯¯¯¯=25,8

 

O valor de  "b" também pode ser escrito como:

 

b=∑ni=1(Xi×Yi)−n×X¯¯¯¯¯×Y¯¯¯¯∑ni=1(Xi−X¯¯¯¯¯)2

 

Substituindo os valores:

 

0,8=15.720−20×30×25,8∑ni=1(Xi−X¯¯¯¯¯)2

 

 

∑ni=1(Xi−X¯¯¯¯)2=15.720−20×30×25,80,8

 

 

∑ni=1(Xi−X¯¯¯¯)2=2400,4

 

 

∑ni=1(Xi−X¯¯¯¯)2=300

Gabarito: Letra D