FGV - Tecnologista (IBGE)/Estatística/2016

Um econometrista resolve propor e estimar um modelo de regressão linear simples como forma de estimar o efeito da temperatura sobre o volume de venda de sorvetes. Emprega, para esse fim, a formulação:

 

QSi=a+β.Ti+ϵii=1,2,3,4.....,20.

 

Onde QS é a quantidade de sorvetes (em milhares), T é a temperatura (célsius) e ϵ$ϵ$ é o termo de erro do modelo.

 

Apenas estatísticas descritivas básicas sobre QS e T são dadas, como 

σ2T=64, σ2QS=100, μT=24, μQS=58 e σT,QS=48

 

Onde, variâncias (σ2), médias (μ) e covariância (σT,QS)

 

Supondo-se válidos todos os pressupostos clássicos, a partir das informações disponíveis, verifica-se que:

a) estimativas para a quantidade de sorvetes podem ser obtidas através da relação estimada QSˆi=41,2+0,7.Ti;

b) o coeficiente de correlação entre T e QS é igual a 0,75;

c) se na amostra à temperatura de 40 graus o consumo foi de 72 mil sorvetes, o resíduo produzido pelo modelo é ϵ^(40)=2;

d) a estatística do teste t-Student de significância para o estimador de β é igual a 1;

e) o desvio-padrão estimado para os erros amostrais é igual a 6.

Resolução:

Para simplificar a escrita, vou substituir QS por Y, que é o símbolo usual para a variável dependente. E vou substituir T por X, que é o símbolo usual para a variável independente.

 

Iniciando pelo cálculo do coeficiente de correlação:

 

ρ=cov(X,Y)σX×σY

 

ρ=4864√×100√

 

ρ=488×10=0,6

 

Alternativa B incorreta (o coeficiente de correlação vale 0,6, e não 0,75).

---

Agora vamos calcular a reta de regressão, do tipo Y=a+bX

 

O coeficiente b é assim calculado:

 

b=cov(X,Y)σ2X=4864=0,75

 

Agora vamos para o coeficiente a

 

a=Y¯−bX¯

 

a=58−0,75×24=40

 

Reta de regressão:

 

Yi=40+0,75Xi

 

Alternativa A incorreta.

---

Em seguida, vamos determinar a quantidade de sorvetes (Y) quando a temperatura vale 40 graus.

 

Yi=40+0,75×40

 

Yi=40+30=70

 

A reta de regressão nos indica 70 mil sorvetes. Se o consumo real foi de 72 mil, então o resíduo fica: 72−70=2 mil sorvetes. Como todos os valores estão expressos em milhares, ε=2.

 

Alternativa C correta.

---

Vamos agora determinar o desvio padrão estimado para os erros amostrais.

 

Começando pela soma de quadrados total (SQT):

 

SQT=σ2Y×(n−1)=100×19

 

Em seguida calculamos a soma de quadrados do modelo de regressão:

 

SQM=b2×∑(Xi−X¯)2

 

SQM=0,752×(n−1)×σ2X

 

SQM=0,752×19×64

 

SQM=36×19

 

Finalmente determinamos a soma de quadrados dos resíduos:

 

SQR=SQT−SQM

 

SQR=19×100−19×36=19×64

 

O quadrado médio dos resíduos fica:

 

QMR=SQRn−2=19×6418≈67,6

 

Essa é a variância estimada dos erros amostrais. Para determinar o desvio padrão, basta tirar a raiz quadrada.

 

67,6−−−−√

 

Como o radicando é maior que 64, nossa resposta será maior que 8. Portanto, alternativa E incorreta.

---

Finalmente, a estatística teste para a nulidade de β$\beta$ fica:

 

b−βs(b)

 

b−0s(b)...(I)

 

 

A variância "b" é dada por:

 

s2(b)=QMR∑(Xi−X¯)2

 

Foi dito que a variância de X vale 64. Logo, 

∑(Xi−X¯)2=(n−1)×64=19×64

 

s2(b)=67,619×64

 

s(b)=67,619×64−−−−−√

 

Substituindo este resultado em (I):

 

0,7567,619×64√

 

 

Dentro da raiz quadrada temos um número que não é quadrado perfeito. Logo, o denominador será irracional e o numerador é racional. Portanto, esse resultado não tem como ser igual a 1.

 

Alternativa D incorreta.

 

Gabarito: Letra C