FCC - Analista Judiciário (TRF 2ª Região)/Apoio Especializado/Estatística/2012

Seja Zt um processo AR(1) estacionário dado por Zt = ϕ Zt −1 + at , onde at é o ruído branco de média zero e variância σ2 .

Considere as seguintes afirmações relativas a Zt :

I. Sua região de admissibilidade é |ϕ| > 1.

II. Sua função de autocorrelação decai exponencialmente.

III. A previsão de origem t e horizonte h (h > 0) é ϕh Zt , onde Zt é o valor da série no instante t.

IV. Sua função de densidade espectral é σ22π.

É correto o que consta APENAS em

a) II. 
b) I e II. 
c) II e III. 
d) II, III e IV. 
e) II e IV.

Resolução:

Item I

 

A condição de estacionariedade é que as raízes de Φ(B)=0 estejam fora do círculo unitário:

 

1−ϕB=0

 

B=1ϕ

 

A raiz estará fora do círculo unitário se o denominador tiver módulo menor que 1. O item I está errado, pois afirmou justamente o contrário.

 

a) II.
b) I e II.
c) II e III.
d) II, III e IV.
e) II e IV.

 

---

Item II

 

Observação: na hora da prova você nem precisa perder tempo analisando o item II, pois ele aparecem em todas as alternativas. Logo, com certeza a banca deu o item como correto.

 

Em todo caso, vamos lá. Vamos resolvê-lo.

 

Primeiro notem que, garantido que o processo seja estacionário, sua média é nula, vejam:

 

E(Zt)=E(ϕZt−1)+E(at)

 

μ=ϕμ+0→μ×(1−ϕ)=0→μ=0

 

Sendo a média nula, podemos voltar na equação original, e multiplicar todos os lados da igualdade por Zt−j

 

Zt×Zt−j=ϕZt−1×Zt−j+at×Zt−j

 

Aplicamos a esperança dos dois lados da igualdade:

 

E(Zt×Zt−j)=ϕ×E(Zt−1×Zt−j)+E(at×Zt−j)0

 

Como a média é nula, podemos subtraí-la de alguns termos que não mudamos a equação:

 

E[(Zt−μ)×(Zt−j−μ)]=ϕ×E[(Zt−1−μ)×(Zt−j−μ)]

 

Com isso surgem as covariâncias:

 

γj=ϕγj−1

 

Dividindo ambos os termos por γ0, obtemos os coeficientes de correlação:

 

ρj=ϕ×ρj−1

 

Como ρ0=1, então a solução geral será:

 

ρj=ϕj, para j≥0

 

Em seguida, temos que lembrar que, para ser estacionário, o módulo de ϕ é menor que 1.  Mas não sabemos se é positivo ou negativo.

 

Caso ϕ seja positivo, aí temos uma queda exponencial "usual". Exemplo: ϕ=0,5. Cada ϕj será metade do anterior, caindo exponencialmente.

 

Caso ϕ seja negativo, a queda continua sendo exponencial (em módulo), mas o sinal vai alternando. Exemplo: ϕ=−0,5. Cada ϕj será metade do anterior (em módulo), mas os sinais vão alterando: um será negativo, o seguinte positivo, o seguinte negativo, etc.

 

Em todo caso, é sim correto dizer que temos um decaimento exponencial, pois em módulo eles realmente vão decaindo. Em valores absolutos, aí não há sempre queda, por conta das trocas de sinal.

 

Item certo

 

---

Item III

 

Iniciando para h=1

 

Zt+1=ϕZt+at+1

 

Para fazer a previsão de origem t e horizonte 1, basta tomarmos a esperança condicional de Zt+1, dados os valores anteriores de Z. Como a esperança de at+1 vale 0, então a previsão fica:

 

Z^t(1)=ϕZt

 

Agora indo para h=2

 

Zt+2=ϕZt+at+2

 

Repetindo o processo, aplicando a esperança condicional:

 

Z^t(2)=ϕZ^t(1)=ϕ2Z^t

 

Analogamente:

 

Z^t(3)=ϕZ^t(2)=ϕ3Z^t

 

E já deu para perceber que, genericamente,

 

Z^t(h)=ϕhZ^t

 

Item certo.

 

a) II.
c) II e III.
d) II, III e IV.
e) II e IV

 

 

Observação: para realmente garantir que o item está correto, precisaríamos verificar que vale para todo h≥1. Isso pode ser feito por indução finita.

• Já sabemos que vale para h=1
• Supomos que vale para h=k, ou seja, Z^t(k)=ϕkZt
• Mostramos que, se vale para  h=k, vale também para h=k+1. Vejam:

Z^t(k+1)=ϕZ^t(k)=ϕ×ϕkZ^t=ϕk+1Zt

• portanto, pelo princípio de indução finita, vale para todo h, natural, e maior ou igual a 1.

---

Item IV

 

Num processo autorregressivo de ordem "p", a função densidade espectral fica:

 

f(λ)=σ22π×1|1−ϕ1e−iλ−ϕ2e−2iλ−⋯−ϕpe−piλ|2

 

Para p=1, que foi o caso desta questão, teremos:

 

f(λ)=σ22π×1|1−ϕ1e−iλ|2

 

O item está errado, pois omitiu a parte em vermelho.

 

c) II e III.
d) II, III e IV.

Gabarito: Letra C