Black and Scholes

O objetivo de um modelo de precificação de opções é determinar um Preço Teórico (PT) para as opções. Black and Scholes (B&S) é o mais popular modelo de precificação, pois é o mais simples e o que necessita de menos dados e cálculos para se chegar ao preço teórico.

Em um modelo de precificação de opções, para calcular o preço teórico é necessário saber:

■ O preço de exercício da opção - Teoricamente, quanto maior, menor o prêmio da opção.

■ O tempo que falta para o exercício - Teoricamente, quanto menor, menor o prêmio da opção.

■ O preço do ativo subjacente - Teoricamente, quanto maior, maior o prêmio da opção.

■ As taxas de juros e a inflação - Teoricamente, quanto maiores, maior o prêmio da opção.

■ A volatilidade do ativo subjacente - Teoricamente, quanto maior, maior o prêmio da opção.

Os quatro primeiros itens sabemos com precisão. Do quinto, sabemos a volatilidade passada, mas não sabemos a volatilidade futura. Ele é o elemento desconhecido da fórmula e, por não saber a volatilidade futura, só nos resta inserir no modelo a VH, ou volatilidade histórica (passada), como estimativa da volatilidade futura.

Sabendo o preço de exercício, o tempo para o exercício, o preço do ativo subjacente e a taxa de juros, você insere a volatilidade histórica no modelo e ele calcula o preço teórico da opção. 

A partir desse preço teórico, você pode ter um parâmetro com o qual compara os preços verdadeios das opções. Com isso, você sabe se as opções estão sobreavaliadas (Preço Real > Preço Teórico) ou subavaliadas (Preço Real < Preço Teórico).

B&S utilizam as gregas delta, gama, theta, vega e rho para denominar as características das opções. 

Observação: Vega não é uma letra grega, mas foi utilizada no estudo e por iso é chamada de uma das gregas de B&S.

Delta - Variação

É o efeito da mudança do preço do ativo subjacente sobre a opção.

É expresso em percentuais. Teoricamente, significa o quanto da variação do ativo subjacente será preenchida pela opção. Uma opção de delta de 0,50, teoricamente, irá variar R$0,50 quando a ação variar R$1. Em outras palavras, é quando a opção ganha ou perde prêmio em relação a uma alteração no preço do ativo de R$1.

Delta é maior quanto mais dentro do dinheiro (ITM) for a opção, chegando a quase 100% nas opções muito dentro do dinheiro e a quase 0% nas opções muito fora do dinheiro (OTM). Nas opções no dinheiro (ATM), de mais liquidez, o delta costuma ficar em torno de 50%.

Uma operação (delta+) teoricamente melhora se o preço da ação subjacente (da qual deriva a opção) subir, pois toda operação enquanto delta positivo é uma compra. Existem operações que, na alta, podem passar de delta positivo para delta negativo, mas enquanto ela for delta positivo funcionará como uma compra. 

Uma operação (delta -) teoricamente melhora se o preço da ação subjacente cair, pois toda operação enquanto delta negativo é uma venda. Exustem operações que, na queda, podem passar de delta negativo para delta positivo, mas enquanto ela for delta negativo funcionará como uma venda.

Se sua operação tiver um delta de 1, teoricamente, se a ação subir R$1, sua operação melhorará em R$1.

Delta não é um valor estático. Quando a ação subjacente varia de preço, o delta das opções varia também, aumentando quando a ação sobe de preço e diminuindo quando a ação cai de preço. 

Outra forma de expressar o delta é a chance de sua opçõa ser exercicida, que seria em torno de 50% para a opção no dinheiro (ATM). Não é a toa que, quanto mais ITM, ou dentro do dinheiro, maior o delta da opção, pois maior também é a chance de ela ser exercida.

O delta de uma operção se calcula multiplicando os lotes em todas as opções por seus deltas e somando os resultados:

A tabela acima mostra um exemplo de cálculo ou de delta de um financiamento ou trava de alta: compra de 1000 opções com delta de 50; você estará comprando 500 deltas (1000 x 0,50), já que o delta se expressa 50, mas, na verdade, é 0,50 ou 50%.

Se na mesma operação você vender 1000 opções de outra opção que tem delta de 30, ainda assim você estará delta positivo, pois agora você vendeu 300 deltas (-1000 x 0,3). Somando +500 com -300 temos 200 deltas positivos. 

Ter mais delta não significa obrigatoriamente que você está mais comprado quando se relaciona com o preço da ação subjacente, ou seja, não significa compra maior em relação ao preço da ação subjacente. Não significa que você ganhará mais rápido para o mesmo movimento de alta da ação (outras gregas determinam isso), mas, sim, que você está com uma compra maior. Se você compra uma lote (1000 opções), tem um delta. Se você dobra e compra dois lotes (2000 opções) de opções da mesma ação, seu delta também irá dobrar. Mas sua posição em relação à ação é a mesma. Sua chance de ganhar com a operação é a mesma.O que mudou é que, se você ganhar, irá ganhar mais, e se perder, irá perder mais.

Na tabela acima, a opção de preço de exercício de R$40 tem delta de 0,50. Teoricamente, a opção no dinheiro (ATM) tem delta próximo de 50. Teoricamente, a opção no dinheiro (ATM) tem delta próximo de 50. Isso acontece porque a chance de ela ser exercida se mantém em torno de 50% conforme a ação fica próxima do preço de exercício dela. O delta aumenta mais para dentro do dinheiro (opções com preço de exercício abaixo do preço da ação) e diminui mais para fora do dinheiro (opções com preço de exercício acima do preço da ação).

Nessa tabela se vê também por que a opção muito fora do dinheiro pouco varia quando o ativo subjacente varia R$1. Isso acontece porque o delta é muito pequeno. Mesmo que o ativo varie R$ 1, ela irá variar apenas alguns centavos, se tanto.

Gama - Movimento

É a taxa de variação do delta. Significa o quanto o delta irá variar para cada variação de R$1 no preço do ativo (ação). 

Expresso em: [valor de delta/R$1 de variação da ação].

Gama de 0,05 significa que o delta irá variar 5 pontos percentuais se o ativo variar R$1.

É o que realmente determina o quanto a opção irá variar em termos proporcioanis percentuais em relação à variação do ativo subjacente.

É maior nas opções ATM, que são as que exibem maiores variações percentuais por R$1 de variação da ação. É pequeno nas OTM e nas ITM.

Uma operação gama positiva melhora se o mercado se movimentar com velocidade e força e piora na acumulação, pois as operações gama positivo são normalmente compras de volatilidade ou compras de movimento. Logo, elas precisam de movimento da ação para serem vitoriosas. 

Uma operação gama negativa piora se o mercado se movimentar com força e melhora na acumulação, pois as operações gama negativas são normalmente vendas de volatilidade ou vendas de movimento. Logo, elas perdem no mercado com alta volatilidade (variações) e ganham na acumulação.

Da mesma forma que com os deltas, pode-se calcular o gama das operações com cálculos simples como os demonstrados para o delta. Basta multiplicar as posições em cada opção pelos respectivos gamas. 

Diferentemente do delta, o gama é maior quando mais próximo do preço do ativo subjacente (R$41).

Dissemos que a opção de Preço de Exercício (PE) de R$38 teoricamente deve subir R$0,75 se o ativo subir R$1 (quando estudamos apenas o delta), mas agora temos que considerar que o delta da opção tenderá a subir para 80 se essa variação ocorrer na ação subjacente. Passamos então a considerar que a opção irá subir R$0,8 e não apenas R$0,75 (delta+gama). Essa é uma aproximação teórica para se compreender os movimentos das opções. O cálculo matemático é muito mais complexo, mas não é necessário para a compreensão das gregas e da influência destas nos movimentos das opções.

Apesar de as opções com baixíssimo valor (muito fora do dinheito, ou OTM) apresentarem variações percentuais altas, o que pode realmente acontecer, desconsideramos, pois todo estudo de precificação de opções possui distorções nos cálculos das opções muito fora ou dentro do dinheiro. 

Theta - Tempo

O que caracteriza as opções: têm um dia para acabar, um prazo. Isso faz com que sejam diferentes dos outros ativos e, acima de tudo, diferentes das ações, que não têm um dia marcado para acabar.

Theta é a taxa em que o prêmio da opção decai (perde valor, ou valor extrínseco - VE) por unidade de tempo (dia), expresso em centavos. Mesmo que uma opção aumente de preço de uma dia para o outro, ela perde valor pela passagem de tempo, ou seja, ela aumentaria mais de preço se não houvesse a passagem de um dia. 

O theta será maior nas opções com maior valor extrínseco (VE), pois a opção perde apenas valor extrínseco (VE) pela passagem do tempo. O valor intrínseco é perdido ou ganho seguindo o movimento da ação. O que é perdido pela passagem do tempo é valor extrínseco (VE). 

Quanto mais valor extrínseco (VE), mais valor a opção perderá pela passagem do tempo. As opções muito fora do dinheiro (OTM), que são constituídas somente de valor extrínseco (VE), são as que perdem maior valor proporcional pela passagem do tempo. Podem perder menos centavos, mas estarão perdendo um percentual maior de seu valor.

O theta também pode ser entendido como a expectativa no prêmio das opções. Essa expectativa diminui a cada dia que passa, bem como a parte do prêmio das opções que constitui de valor extrínseco (VE).

É importante entender que o theta irá influenciar somente a porção do prêmio da opção além do valor intrínseco, que é o valor extrínseco (VE). O valor intrínseco é influenciado somente pela variação de preços da ação, já que, para as opções que possuem valor intrínseco, ele é a parte do prêmio da opção entre o preço de exercício da opção e o preço da ação. Ele sobe conforme a ação se afasta positivamente (para cima) do preço de exercício da opção e diminui conforme a ação, acima do preço de exercício da opção, se aproxima do preço de exercício da opção durante uma queda.

O valor extrínseco (VE), que é a parte do prêmio da opção além do valor intrínseco, será influenciada por expectativas, volatilidades e, acima de tudo, pela passagem do tempo (theta). A opção perde somente valor extrínseco (VE) pela passagem do tempo. Ela não perde valor intrínseco. Ela só perde valor instrínseco se o ativo subjacente cai de preço.

Uma operação theta positiva ganha com a passagem do tempo (normalmente operações de venda, seja de tendência, seja de volatilidade).

Uma operação theta negativa perde com a passagem do tempo (normalmente operações de compra de tendência ou de volatilidade).

O theta de uma operação também pode ser calculada facilmente, da mesma forma como demonstramos para o delta, bastando multiplicar as posições em cada opção pelos respectivos thetas. Em última instância, este seria o valor que você perderia ou ganharia pela passagem de um dia em sua operação.

Apesar da tabela acima ser uma aproximação teórica, ela mostra que a perda de valor (VE) pela opção com a passagem do tempo é proporcionalmente maior quanto mais o tempo passa. Isso acontece porque, na hora do vencimento das opções, não existe mais VE.

Tempo e gregas

■ Opções Dentro do Dinheiro (ITM) - Se todos fatores e mantiverem constantes, delta tende a aumentar até 1.00 com a passagem do tempo e gama tende a zero.

Isso significa dizer que uma opção dentro do dinheiro, com a passagem do tempo, tende a perder toda a "gordura" e acompanhar totalmente o papel, tendo somente valor intrínseco conforme o vencimento se aproxima. O comportamento dela passa a ser ser semelhante ao de uma ação.

■ Opções no Dinheiro (ATM) - Se todos os outros fatores se mantiverem constantes, delta tende a se manter praticamente constante com a passagem do tempo, mas o gama pode crescer muito em relação ao preço da opção. Isso significa dizer a chance de uma opção no dinheiro ser execicida se mantém constante se o preço do ativo subjacente se mantiver constante.

Gama enorme com delta se mantendo constante, em torno de 50, produz opções explosivas (para qualquer um dos lados) nessa faixa com a proximidade do vencimento.

■ Opçõs Fora do Dinheiro (OTM) - Se todos os outros fatores se mantiverem constantes, delta e gama tendem a diminuir até próximo de zero com a passagem do tempo.

Isso significa dizer que, se a opção se mantiver fora do dinheiro, com a passagem do tempo ela tende a perder seu valor, delta e gama, ou seja, com a proximidade do vencimento, ela vai acompanhar cada vez menos o ativo subjacente, pois só tem valor do tempo, e, quanto menos tempo restar para o vencimento, menor será seu valor. Tendo delta e gama muito baixos, ela irá perdendo também a chance de reagir, ainda que a ação reaja. Isso só é revertido com variações extraordinárias da ação para cima.

Delta Quality

Delta Quality não faz parte do modelo B&S; é apenas uma forma fácil de avaliar a relação de delta com gama de uma operação de compra ou venda de volatilidade. 

Apesar de esse critério não existir no modelo B&S, ele é facilmente compreendido por quem domina as gregas, pois quanto maior a quantidade de gama em relação ao delta, mais estaremos operando volatilidade, seja comprado em volatilidade (movimento a favor da operação) ou vendido em volatilidade (movimento contra a operação).

Deve-se estar atento que o significado se inverte nas vendas de volatilidade em relação às compras de volatilidade. Quando compramos volatilidade com DQ alta, precisamos menos de movimento do que nas compras com DQ baixo. 

Nas vendas de volatilidade, o tempo é nosso aliado, e o movimento, nosso inimigo. Quanto maior o Delta Quality mais necessitamos de movimento da ação, pois estamos vendidos em tendência e não em movimento, situação (DQ baixo) em que o tempo é o nosso aliado e só precisamos que o mercado não faça um movimento amplo para sermos vencedores. 

Quanto mais gama negativo temos em relação ao delta negativo, (menor DQ) mais estamos vendidos em movimento, mais o tempo será nosso aliado e mais vamos perder se o mercado subir com força. Operando somente com opções de compra não existem operações puras de volatilidade e sempre haverá uma mistura de tendência e volatilidade. 

As operações de compra de volatilidade com Delta Quality baixo normalmente são operações que necessitam de um movimento intenso de alta para se ter lucro. Se a volatilidade subir de forma muito intensa, você poderá ganhar mais em uma operação com Delta Quality (DQ) baixo do que em uma com Delta Quality alto. Por outro lado, em uma alta pouco intensa, a operação de DQ alto terá lucro, e a de DQ baixo, prejuízo. As de DQ baixo, se feitas fora do dinheiro (OTM), podem ter lucro ou não ter prejuízo se o mercado não chegar na operação.

Como O DQ é a divisão do delta pelo gama, ele terá valores acima de 1 quando o delta for maior que o gama e abaixo de 1 quando o gama for maior que o delta. 

Quanto maior o DQ, ou seja, quanto mais delta em relação ao gama, sejam os dois positivos nas compras ou negativos nas vendas, mais estamos falando de operações de tendência.

Quanto menor o DQ, ou seja, quanto menos delta em relação ao gama, sejam os dois positivos nas compras ou negativos nas venda, mais estamos falando de operações de volatilidade.

Estejam atentos que comprar volatilidade é comprar movimento e vender volatilidade é vender movimento. Mais gama que delta na compra (DQ baixo) significa comprar volatilidade e o movimento é seu aliado e o tempo está contra você. Mais gama que delta na venda (DQ baixo) significa vender volatilidade e o movimento está contra você, mas o tempo, a favor.

Vega - Volatilidade

É a variação no prêmio de uma opção que resulta de uma mudança na volatilidade do Ativo, ou o quanto a opção varia em centavos para determinada variação da Volatilidade Histórica (VH) do ativo subjacente.

É expresso em centavos e maior nas opções ATM.

Para cada 1% de variação na VH, a opção teoricamente ira variar x centavos.

Uma operação vega positiva tende a ganhar em ambientes de alta volatilidade (Compras de Volatilidade) e uma operação vega negativa tende a ganhar em acumulações (Vendas de Volatilidade).

Rho - Juros

É o efeito das variações das taxas de juros nos preços das opções. Pouco utilizadado quando as variações nos juros de mercado são pouco significativas ou muito previsíveis.