BACEN - 2010 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS - ÁREA 2 - QUESTÃO 16

16 - Seja um modelo linear y = Xβ + ε , onde y é um vetor (n x 1); X é uma matriz (n x k) de posto k<n; β é um vetor coluna composto de k parâmetros desconhecidos e ε é um vetor (n x 1) de perturbações aleatórias. Considere as seguintes hipóteses sobre as perturbações aleatórias ε :

i. E(ε │X) = 0

ii. V(ε │X) = σ²I

onde E é o operador de expectância (esperança matemática), V(ε │X) = σ²I é a matriz de variância-covariância das perturbações aleatórias, condicionada a X. Utilizando-se o método de mínimos quadrados simples (OLS) estimam-se os parâmetros β por b = (X’X)^-1X’y.

Nessas condições, analise as proposições a seguir. 

I - Se as hipóteses i e ii são válidas, conclui-se que os estimadores b são não tendenciosos e eficientes. 

II - A identificação de S² = e'e/(n-k) como o estimador de mínimos quadrados de σ², onde e é o vetor de resíduos de mínimos quadrados, não é estritamente correto, uma vez que esse método só permite estimar β. 

III - Se o posto da matriz X for menor do que k, a hipótese ii não se sustentará e haverá problemas de heterocedasticidade. 

IV - Se V(ε │X) = ῼ, onde ῼ ≠ σ²I , o método de mínimos quadrados generalizados (GLS) fornecerá estimadores para β com melhores propriedades do que os estimadores de mínimos quadrados simples.

São corretas as proposições 

(A) I e II, apenas. 

(B) III e IV, apenas. 

(C) I, II e IV, apenas. 

(D) I, III e IV, apenas. 

(E) I, II, III e IV.

Resolução:

Antes de analisarmos as proposições, faremos uma breve revisão de alguns conceitos de álgebra linear, estimação e da abordagem matricial para o modelo de regressão linear.

Revisão de Álgebra Linear

1) Um conjunto de vetores {x1, x2,...,xn} é linearmente independente (LI) se a relação 

a1x1 + a2x2 + .... + anxn = 0

só puder ser satisfeita se forem escolhidos a1 = a2 = ... = an =0. Caso a relação acima possa ser satisfeita com pelo menos um a1 ≠ 0, diz-se que o conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) (algum dos x é combinação linear dos outros vetores do conjunto).

2) O posto r(A) (ou rank) da matriz AMxN é definido como o número de colunas LI de A. Pode-se demonstrar que o posto também é igual ao número de linhas LI de A.

Melhor Estimador Linear Não Viesado (MELNV)

Um estimador não viesado é aquele que, na média, acerta, ou seja, E(b) = β. 

Um estimador eficiente é aquele que, entre os estimadores não viesados, apresenta menor variância. 

Um estimador MELNV é aquele que, entre os estimadores lineares e não viesados, apresenta menor variância. 

Pode-se dizer que um estimador MELNV é eficiente dentro da classe dos estimadores lineares.

Hipóteses do modelo clássico de Regressão Linear de k variáveis

1- E(ε) = 0

2- E(εε’) = σ²I 

3- A matriz X não é estocástica. 

4 - O posto de X é k. 

5 - O vetor de erros têm distribuição normal multivariada, isto é, ε ~ N(0, σ²I).

Estimativa de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) de β

b = (X’X)-1 (X’y) 

em que b é o vetor com as estimativas dos parâmetros β.

Propriedades do Vetor de MQO b 

O estimador b é linear, pois é uma função linear de y. E(b) = β, ou seja, o valor esperado de cada elemento de b é igual ao elemento correspondente do verdadeiro β e, na classe de todos os estimadores lineares não viesados de β, o estimador de MQO b tem variância mínima (Teorema de Gauss-Markov). Deste modo, b é o estimador MELNV de β.

Análise das alternativas

I. Se estas hipóteses são válidas, os estimadores são não tendenciosos, consistentes e eficientes, pois não há heterocedasticidade, autocorrelação e correlação das variáveis explicativas com o termo de erro.

II. Essa alternativa não é nada além de uma pegadinha mal construída e sacana! Só para adiantar, e’e, sendo e o vetor de resíduos do modelo, é a mesma coisa que o nosso SQR (soma de quadrados dos resíduos). Se duvidar, multiplique dois vetores com os resíduos de uma regressão, você verá que o total será a soma de seus quadrados.

Bom, quanto à alternativa, atente-se que é dito que e'e/(n-k) é o estimador de MQO para a variância! Isso não é verdade! O método MQO estima os parâmetros da regressão e não a variância. Este estimador da variância é quase um “subproduto” do método ε QO aplicado à regressão linear.

III - O posto de uma matriz nada tem a ver com heterocedasticidade, apenas com multicolinearidade.

IV – O método de mínimos quadrados generalizados (GLS) fornece o estimador MELNV na presença de autocorrelação e/ou heterocedasticidade.

Gabarito: Letra C