BACEN - 2010 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS - ÁREA 2 - QUESTÃO 19

19 - Sobre séries temporais, analise as proposições a seguir. 

I - Se um processo MA(1) for estacionário, ele pode ser representado como um processo autorregressivo (AR) de ordem infinita. 

II - Se um processo AR(1) for estacionário, ele pode ser representado por um processo de médias móveis (MA) de ordem infinita. 

III - Uma série de tempo é um conjunto ordenado de variáveis aleatórias, isto é, um processo estocástico, portanto uma série de tempo y(t) pode ser representada pela função de densidade conjunta dos yt (t = 1, 2, ... n); assim, trabalhar com uma série de tempo é inferir sobre o processo estocástico com uma única realização desse processo. 

É(São) correta(s) a(s) proposição(ões) 

(A) I, apenas. 

(B) I e II, apenas. 

(C) I e III, apenas. 

(D) II e III, apenas. 

(E) I, II e III.

Resolução:

Item I - Para determinarmos se o processo MA(1) pode ser representado como um autorregressivo de ordem infinita, deveríamos informações sobre a invertibilidade do modelo MA(1) (e não sobre estacionariedade). 

Item errado.

Item II - O item está perfeito, não há o que acrescentar. O detalhe é que os modelos autorregressivos são sempre invertíveis. 

Apenas para exemplificar o processo de obtenção do modelo MA de ordem infinita, vamos apresentar os primeiros passos.

O modelo AR(1) é dado por:

Substituindo o valor de Zt-1

Em seguida, substituiríamos Zt-2 e o processo continuaria indefinidamente, dando origem a um modelo MA de ordem infinita.

Item certo.

Item III - Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias. Uma determinada trajetória de um processo estocástico é uma série temporal.

Sabendo-se que uma variável aleatória é estudada a partir da sua função densidade, então realmente podemos estudar uma série temporal pela densidade conjunta associada a cada instante de tempo (t = 1,2,3...).

Para exemplificar, vamos reproduzir o exemplo extraído do "Análise de Séries Temporais":

Seja Z(t) a temperatura do ar, em determinado loca, no instante "t".

Se representarmos essa temperatura por gráficos de linha, teremos o seguinte. A cada novo dia, obteremos um gráfico diferente, correspondente a um conjunto diferente de observações das temperaturas. Todas as trajetórias possíveis (ou seja, o conjunto de todas as linhas possíveis) é o processo estocástico. Cada linha em particular (para determinado dia, por exemplo) é uma série temporal.

E, além disso, para cada valor fixo de "t" temos diversos valores das temperaturas ao longo dos vários dias. Então, para cada "t", temos uma variável aleatória.

Por isso dissemos que o processo estocástico é a família de todas as variáveis aleatórias, definidas para todos os instantes "t" em análise.

Deste modo, o item está certo.

Gabarito: Letra D