CESPE - Analista Judiciário (TST)/Apoio Especializado/Estatística/2008

Em um estudo, foram consideradas três variáveis: a oferta de emprego (X1), a oferta de mão-de-obra (X2) e a rotatividade da mão-de-obra (X3). O vetor aleatório

segue uma distribuição normal multivariada cuja matriz de covariância é apresentada a seguir, em que
γij representa a covariância entre Xi e Xj. As médias de X1, X2 e X3 são, respectivamente, iguais a 20, 15 e 30.

A partir dessas informações, julgue o item seguinte.

A variância da soma X1+X2+X3 é igual a 86.

Resolução:

A variância da soma X1+X2+X3 pode ser calculada a partir das propriedades da variância e covariância, como segue.

Var(X1+X2+X3)=Var(X1+X2)+Var(X3)+2Cov(X1+X2,X3) ... (1)

na qual

Var(X1+X2)=Var(X1)+Var(X2)+2Cov)(X1,X2) .... (2)

e

Cov(X1+X2,X3)=Cov(X1,X2)+Cov(X2,X3) .... (3)

A matriz de covariância é tal que

e tem a proriedade se ser simétrica. Dessa forma, a matriz completa de covariância do enunciado pode ser reescrita como

                                         Σ=

Σ=

⎡⎣⎢4−0,47,2−0,41−2,77,2−2,781⎤⎦⎥

Assim, temos

Var(X1)=4

Var(X2)=1

Var(X3)=81

 Cov(X1,X2)=−0,4

Cov(X1,X3)=7,2

e

Cov(X2,X3)=−2,7

Substituindo os valores conhecidos em (2) e (3), temos:

Var(X1+X2)=4+1+2×(−0,4)=4,2

e

Cov(X1+X2,X3)=7,2−2,7=4,5

Substituindo os valores conhecidos em (1), temos:

Var(X1+X2+X3)=4,2+81+2×4,5=94,2

Portanto, Var(X1+X2+X3)=94,2

Gabarito: Errado