CESPE - Analista do Ministério Público da União/Perícia/Estatística/2010

Acerca da distribuição dos consumidores de determinado produto segundo suas preferências por marcas, sabe-se que, em determinada cidade, 20% dos consumidores preferem a marca A, 50%, a marca B e os 30% restantes, preferem a marca C. A marca A é importada e as marcas B e C são nacionais. Considere que os desvios padrão das rendas mensais dos consumidores que preferem as marcas A, B e C sejam, respectivamente, iguais a R$ 500,00, R$ 400,00 e 13×R$2.000,00$\frac{1}{3}\times R\$2.000,00$. Uma amostragem aleatória estratificada de n=500$n=500$ pessoas será retirada dessa população para estimar a renda média mensal dos consumidores desse produto dessa cidade.

Considerando que os três grupos de consumidores são os estratos da amostragem, julgue o item que se segue.

Considere que serão selecionados, ao acaso, 165 consumidores que preferem a marca A, 170 que preferem a marca B e 165 que preferem a marca C. Nessa situação, é correto afirmar que o erro padrão do estimador para a renda média mensal dessa população de consumidores é igual a 19×R$4.700,00.

Resolução:

Abaixo resumimos os dados:

Marca	desvio padrão
A	500
B	400
C	2000/3

Sejam A¯¯¯¯,B¯¯¯¯,C¯¯¯¯ as médias amostrais de cada estrato. Para calcular as respectivas variâncias, basta fazer assim:

σ2A¯¯¯¯=σ2AnA

Ou seja, a média amostral tem variância (σ2A¯¯¯¯) igual à variância do respectivo estrato, dividida pelo número de elementos que compõem a correspondente amostra.

Para os demais estratos o cálculo é análogo.

Ficamos com:

Marca	desvio padrão	tamamho da amostra	Variância da média amostral
A	500	165	5002÷165
B	400	170	=4002÷170
C	2000/3	165	=(2000÷3)2÷165

Seja X¯¯¯¯ o estimador da média amostral. Para calcular, basta calcular a média ponderada entre as médias de cada estrato. Os pesos de ponderação são os percentuais verificados na população (20%, 50%, 30%).

X¯¯¯¯=0,2A¯¯¯¯+0,5B¯¯¯¯+0,3C¯¯¯¯

Logo:

V(X¯¯¯¯)=V(0,2A¯¯¯¯+0,5B¯¯¯¯+0,3C¯¯¯¯)

Como a amostragem em cada estrato é independente da realizada nos demais estratos, a variância da soma é igual à soma das variâncias:

V(X¯¯¯¯)=V(0,2A¯¯¯¯)+V(0,5B¯¯¯¯)+V(0,3C¯¯¯¯)

Quando multiplicamos uma variável por uma constante, a variância é multiplicada pela constante ao quadrado:

V(X¯¯¯¯)=0,04×V(A¯¯¯¯)+0,25×V(B¯¯¯¯)+0,09×V(C¯¯¯¯)

V(X¯¯¯¯)=0,04×5002165+0,25×4002170+0,09×2.000232×165

V(X¯¯¯¯)≈60+235+242=537

Já o valor informado na questão é de:

4.700÷9≈522

O valor encontrado (aproximadamente 537) difere do informado na questão (aproximadamente 522).

Gabarito: Errado