FCC - Analista Judiciário (TRT 13ª Região)/Apoio Especializado/Estatística/2014

A função densidade de probabilidade da variável bidimensional contínua (X,Y) é dada por:

 

f(x,y)=[Kx(x−y),se0<x<1e−1<y<10,casocontrario]

 

 

Onde K é a constante adequada para tornar f(x) uma função densidade de probabilidade.

Nessas condições, a esperança condicional de X, dado que Y é igual a 1/6, denotada por E (X|Y = 1/6), é igual a

a) 5/6

b) 6/7

c) 7/9

d) 1

e) 0,5

Resolução:

De modo geral, a esperança condicional é dada por:

 

E(X|Y)=∫−∞+∞x⋅fX|Y(x,y)dx

 

onde fX|Y(x,y)é a função densidade condicional obtida dividindo-se f(x,y) pela função densidade de probabilidade marginal de Y. 

 

fX|Y(x,y)=f(x,y)fY(y)

 

Calculando para  Y=16:

 

Função densidade conjunta:

 

f(x,16)=k(x2−x6)

 

Função densidade de probabilidade marginal de Y:

 

Só precisamos integrar nos limites 0 < x < 1 pois X só assume valores neste intervalo. Basta notar que f(x,y) = 0 para valores fora desse intervalo.

fY(y)=∫01k(x2−xy)dx=k(x33−x2y2)

 

fY(16)=k(13−112)

 

=k⋅14

 

Portanto, a função densidade condicional fica:

fX|Y(x,16)=f(x,16)fY(16)=k(x2−x6)k⋅14

 

=4(x2−x6)

 

A esperança condicional fica:

 

E(X|Y=16)=∫01x⋅4(x2−x6)dx=∫014(x3−x26)dx

=4[x44−x318]10=4(14−118)

= 7/9

Gabarito: Letra C

[x44−x318]10=4(14−118)=79

x44−x318]10=4(14−118)=79