COPS UEL - Auditor Fiscal (SEFAZ PR)/2012

Numa pesquisa realizada com 1000 adultos, verificou-se que 30% tomam café pelo menos uma vez por dia.

Em relação à confiabilidade de que tal resultado seja verdadeiro para todo o universo de adultos, assinale a alternativa correta.

a) Com nível de confiança de 95%, pode-se afirmar que o número de pessoas que tomam café pelo menos uma vez por dia esteja entre 27,10% e 32,90% do universo de adultos. 

b) É provável que o número de pessoas que tomam café pelo menos uma vez por dia seja inferior a 27% do universo de adultos. 

c) A amostra de 1000 adultos é muito pequena e não podemos tirar conclusões sobre o fenômeno a partir dela. 

d) A margem de erro padrão associada à confiabilidade da pesquisa com essa amostra é 2,9. 

e) O nível de confiança de que em cada 1000 adultos 30 tomam café pelo menos uma vez por dia é de 70%.

Resolução:

Alternativa A - CORRETA. O intervalo de confiança para proporção tem o seguinte formato:

p^±Z0×p^×q^n−−−−√

Onde:

• p^ é a proporção amostral de sucessos (pessoas que tomam café)

• q^ é a proporção amostral de fracassos (pessoas que não tomam café)

• Z0$Z_0$ é o escore na normal padrão correspondente a 95% de confiança. Tal valor é 1,96.

• n é o tamanho da amostra

Substituindo os valores:

0,30±1,96×0,3×0,71000−−−−−√

0,30±1,96×0,211000−−−−√

0,30±1,96×0,01449

0,30±0,0284

[27,159%;32,84%]

Tal intervalo corresponde, aproximadamente, àquele dado na alternativa.

Certamente o mais trabalhoso aqui era calcular a raiz quadrada. Para não perder tanto tempo, uma saída é usar o cálculo aproximado da raiz quadrada:

211.000−−−−√=2,110.000−−−−−√

Agora trabalhamos o numerador.

Para tanto, devemos lembrar que:

x1−−√≈x1+x02×x0√

Onde x1 é o número para o qual queremos calcular a  raiz e x0 é um quadrado perfeito próximo.

Fazendo então x0=0,04, temos:

2,1−−−√≈2,1+42×4√=1,525

Logo:

2,110.000−−−−−√≈1,525100≈0,01525

Finalmente, o intervalo de confiança com esta aproximação ficaria:

0,30±1,96×0,01525

[27,01%;32,989%]

Alternativa B - INCORRETA. Não temos qualquer informação para falar em probabilidade. O máximo que podemos falar é em nível de confiança. Com 95% de confiança, o referido percentual está entre 27,159% e 32,84%. Se o percentual verdadeiro está ou não nesse intervalo, não sabemos. Sequer podemos afirmar que tal probabilidade é de 95%. Ou a proporção verdadeira está nesse intervalo (e a probabilidade é 1) ou não está (e a probabilidade é 0).

Por consequência, também não podemos calcular qualquer probabilidade relacionada a qualquer outro intervalo.

Alternativa C - INCORRETA. É sim possível tirar conclusões. Na letra "a", por exemplo, conseguimos estabelecer um intervalo de 95% de confiança.

Alternativa D - INCORRETA. A margem de erro está intimamente ligada ao nível de confiança. Na letra "a", para uma confiança de 95%, realmente a margem de erro ficou próxima de 2,9. Contudo, se outro nível de confiança for adotado, a margem de erro será alterada.

Alternativa E - INCORRETA. A frase não faz qualquer sentido.

Gabarito: Letra A