ESAF - Auditor Fiscal da Receita Estadual (SEF MG)/2005

Considere o modelo de regressão linear

Yi=α+βXi+εi, i=1,2,...,n, onde os Yi representam observações da variável resposta Y, os Xi representam observações da variável exógena X, a e β são parâmetros desconhecidos e os εi são erros não correlacionados com média nula e variância constante. Parte da tabela de análise de variância é dada abaixo. Sabe-se que a média dos valores da variável exógena é 30 e que a soma dos quadrados de seus desvios relativos a essa média é 1.000. Assinale a opção que dá o valor da variância do preditor de Y correspondente a X=40

a) 41,4 

b) 05,4 

c) 30,5 

d) 30,2 

e) 20,2

Resolução:

Seja σ2 a variância constante dos termos εi.

O estimador de σ2 é igual ao quadrado médio dos resíduos (s2 = QMRes), que por sua vez é igual à divisão entre a soma de quadrados dos resíduos e o respectivo número de graus de liberdade:

s2=QMRes=64818=36

Seja Yh o preditor de Xh = 40.

A variância do preditor fica:

(1+1n+(Xh−X¯¯¯¯¯)2∑x2i)σ2

Onde xi=Xi−X¯¯¯¯.

A soma dos quadrados dos desvios de X em relação à sua média é igual a 1.000. Ficamos com:

(1+1n+(Xh−X¯¯¯¯¯)21.000)σ2

O número de graus de liberdade total é igual a: 1 + 18 = 19. Esse número, por sua vez, corresponde a n−1, onde "n" é o tamanho da amostra.

n−1=19→n=20

Agora substituímos esse resultado no cálculo da variância do preditor:

(1+120+(Xh−X¯¯¯¯¯)21.000)σ2

A média de X vale 30 e Xh = 40:

(1+120+(40−30)21.000)σ2

Finalmente, substituímos σ2 por sua estimativa s2:

(1+120+(40−30)21.000)×36

=(1+0,05+0,1)×36

=41,4

Gabarito: Letra A