FGV - Analista Judiciário (TJ RO)/Economista/2015

Considere uma economia constituída por dois vizinhos de um mesmo prédio cujas utilidades são u1(m, x1) = 2(m1/2) + x1 e u2(m, x2) = (1/2)ln (1-2m) + x2, em que m representa música alta ouvida pelo vizinho 1 (percentual de horas que o vizinho 1 aloca do seu dia para ouvir música alta, ou seja, valor entre 0 e 1) e xi representa o gasto do agente i com a aquisição de outros bens (i=1 ou 2). Suponha que o vizinho 2 tenha direito ao silêncio, mas que possa vender, ao preço unitário p, o direito ao barulho (de parte do tempo ou de todas as horas) ao vizinho 1. No equilíbrio, o valor do produto (p*m), ou seja, o único valor possível que o vizinho 1 paga ao vizinho 2 é de:

a) 1/2 unidade monetária; 

b) 2 unidades monetárias; 

c) 4 unidades monetárias; 

d) 16 unidades monetárias; 

e) 32 unidades monetárias.

Resolução:

Questão que versa sobre equilíbrio do consumidor.

 

Questão muito difícil, pessoal, talvez a mais difícil que já tenha comentado em microeconomia.

 

A primeira coisa que precisamos fazer aqui é igualarmos a relação entre utilidade marginal e preço entre os bens para cada um dos “vizinhos”.

 

Para o indivíduo 1, temos:

 

UMgmPm=UMgx1Px1

 

Sabemos que a utilidade marginal é dada pela derivada da função de utilidade em relação ao bem.

 

Logo:

 

UMgm=1m√

 

Dividindo por Pm, teremos 1Pm.m√

 

Para UMgx1Px1, teremos que esta expressão é igual a 1.

 

Isso porque a utilidade marginal de X1 será igual a 1 e, como X1 representa os demais bens, assumimos Px1=1.

 

Assim, fazendo UMgmPm=UMgx1Px1, teremos:

 

1Pm.m√=1

 

Pm=1m√

 

Agora vamos fazer a mesma coisa para o vizinho 2:

 

UMgmPm=UMgx2Px2

 

Sabemos que a utilidade marginal é dada pela derivada da função de utilidade em relação ao bem.

 

Logo:

 

UMgm=11−2m

 

Dividindo por Pm, teremos 1Pm.(1−2m)

 

Para UMgx2Px2, teremos que esta expressão é igual a 1.

 

Isso porque a utilidade marginal de X2 será igual a 1 e, como X2 representa os demais bens, assumimos Px2=1.

 

Assim, fazendo UMgmPm=UMgx2Px2, teremos:

 

1Pm.(1−2m)=1

 

Pm=−1(1−2m)

 

Agora, como temos dois valores para Pm, basta igualá-los:

 

1m√=−1(1−2m)

 

1–2m=−m−−√

 

Vamos substituir m−−√ por “h” apenas para facilitar os cálculos:

 

1–2h2=−h

 

−2h2+h+1=0

 

Se utilizarmos Baskhara, as raízes serão 12 e -1.

 

Descartamos a raiz negativa e ficamos com h=12.

 

Como h=m−−√, temos que:

 

m−−√=12

 

m=14

 

Como sabemos que Pm=1m√, temos que:

 

Pm=114√

 

Pm=2

 

Agora multiplicamos Pm.m para encontramos o produto pedido pelo enunciado:

 

Pm.m=m=14.2

 

Pm.m=12

 

Gabarito: Letra A