CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013

Considere que, em um modelo CAPM, o consumidor tenha um horizonte de tempo T e pretenda maximizar a função utilidade esperada apresentada a seguir:

 

E[∑T−1t=0(1+θ)tU(ct)|0]  $(1)$

Em que: E(.|t) é a expectativa condicional, dadas as informações disponíveis no instante t$t$; θ é a taxa de preferência intertemporal.

Considere, ainda, que, no instante t$t$, o consumidor decida alocar sua riqueza em qualquer dos n$n$ ativos arriscados existentes na economia, cujo retorno (líquido) estocástico é dado por zit, com i=1, ..., $n$, e que exista um ativo livre de risco com retorno rt.

 

Considere, por fim, que as condições de primeira ordem para o problema do consumidor sejam descritas por

 

U′(ct)=(1+θ)−1E[U′(ct+1)(1+zit)|t]    i=1,...,n    (2)

 

U′(ct)=(1+θ)−1(1+rt)E[U′(ct+1)|t]   (3)

 

Com base nesse conjunto de informações, julgue o item seguinte.

Quanto maior for a covariância do ativo com a utilidade do consumo do agente, menor será o retorno esperado do ativo.

Resolução:

Questão que versa sobre o modelo CAPM.

 

Questão muito difícil, pessoal!

 

Tenhamos em mente que o que muda da equação 2 para a 3 é que, como taxa de retorno ativo livre de risco é conhecida no instante t, ela pode ser tirado da expectativa condicional, resultando na equação 3.

 

Ou seja, tiramos (1+rt) da expectativa condicional porque conhecemos seu retorno no instante t.

 

Sabemos também que o agente deve  consumir de maneira que sua utilidade marginal seja igual à sua utilidade marginal descontada no próximo período.

 

Ou seja, temos que necessariamente as derivadas destas equações são iguais a zero.

 

Portanto, se substituirmos 2 em 3, teremos que:

 

E[U′(ct+1)(zit−r0t)]=0

 

Calculando a covariância entre o ativo com a utilidade do consumo, teremos:

 

cov[U′(ct+1,zit]=E[U′(ct+1)(zit−r0t)]−E[U′(ct+1)]E[U′(zit−r0t)]

 

E[U′(ct+1)]E[U′(zit−r0t)]+cov[U′(ct+1,zit]=0           i=i,2,....,n.

 

Assim, o retorno esperado do ativo i no equilíbrio satisfaz a seguinte equação:

 

E[zit=r0t−cov[U′(ct+1,zit]E[U′(ct+1)]=0        i=i,2,....,n.

 

Ou seja: quanto maior a covariância do retorno do ativo com a utilidade marginal do consumo, menor será o retorno esperado do ativo.

 

Isso porque maior será o numerador da fração acima, que é negativa.

 

A interpretação é a seguinte, pessoal: dado que, no equilíbrio, o ativo fornece um hedge (seguro) para o consumo, quando a utilidade marginal do consumo diminui os agentes estarão dispostos a obter um retorno menor.

 

Ou seja, os agentes irão demandar uma taxa de retorno maior para o ativo quando a utilidade marginal do consumo aumenta porque a utilidade a ser protegida é maior.

 

Essa é a conclusão lógica.

 

Os cálculos foram colocados para comprovar isso, mas é importante termos sempre a conclusão em mente.

 

Gabarito: Certo