FGV - Tecnologista (IBGE)/Economia/2016

Considere o modelo de Stackelberg no qual duas firmas produzem um mesmo produto. Suponha que as firmas sejam homogêneas, o que significa que as curvas de custo total de ambas são expressas por Ci(qi) = 25qi, para i = L,S. A curva de demanda inversa desse mercado todo é dada por P(Q) = 175 – 1,5Q, onde Q = qL+qS é a produção total no mercado. Em equilíbrio, o lucro da firma líder é dado por:

a) 1.250; 
b) 1.875; 
c) 2.000; 
d) 2.225; 
e) 3.750.

Resolução:

Questão que versa sobre o duopólio de Stackelberg.

 

A primeira coisa que devemos fazer aqui é acharmos a curva de reação da empresa seguidora porque ao tomar a sua decisão após a firma líder, a firma seguidora considera a produção da concorrente como dada.

 

Precisamos achar a sua função de receita total, derivamos para obter a receita marginal e igualamos a seu custo marginal.

 

Sabemos que a receita total é igual à multiplicação entre preço e quantidade.

 

Lembremos sempre que Q=(QL+QS) em que QL é a quantidade produzida pela firma líder e QS é a quantidade produzida pela firma seguidora e Q é a quantidade total produzida no mercado.

 

Como P(Q)=175–1,5Q:

 

RTS=P.QS=(175–1,5Q)QS

 

RTS=175QS–(1,5QS+1,5QL)QS

 

RTS=175QS–1,5Q2S–1,5QSQL

 

Achada a receita total da firma Seguidora, derivamos em relação a QS$Q_S$ para encontrarmos sua receita marginal:

 

RMS=δRTSδQS

 

RMS=175–3QS–1,5QL

 

Achada a receita marginal de S, igualamos ao seu custo marginal para a condição de lucro máximo.

 

Sabemos que seu custo total é de 25QS

 

Derivando em relação a QS temos que seu custo marginal é igual a 25.

 

Assim, na condição de lucro máximo, temos:

 

RMS=CMS

 

175–3QS–1,5QL=25

 

150=3QS+1,5QL

 

Isolamos Q_S e obtemos a curva de reação da empresa Seguidora:

 

3QS=150–1,5QL

 

QS=50–12QL​

 

Achada a curva de reação de S (seguidora), já podemos procurar a quantidade produzida pela firma líder.

 

Como a empresa líder pode prever a quantidade que a empresa seguidora ofertará, poderá tomar a melhor decisão em cima disso.

 

Como a curva de demanda é a mesma, a receita total de L é análoga à receita total de S.

 

Assim, como a receita total da seguidora é 

RTS=175QS–1,5Q2S–1,5QSQL​, a receita total da firma líder é dada por:

 

RTL=175QL–1,5Q2L–1,5QLQS​

 

Repare que apenas trocamos S por L.

 

Como nós dispomos da curva de reação de S, temos que QS=50–12QL​

 

Logo:

 

RTL=175QL–1,5Q2L–1,5QL(50–12QL)​

 

RTL=175QL–75QL–1,5Q2L+0,75Q2L

 

RTL=100QL−0,75Q2L​

 

Achada a receita total da firma líder, derivamos e encontramos sua receita marginal:

 

RML=δRTLδQL

 

RML=100–1,5QL​

 

Sabemos que o custo marginal da firma é 25 (custos iguais ao da firma seguidora).

 

Assim, igualamos custo e receita marginais e obtemos o ponto ótimo de produção da firma líder:

 

CML=RML

 

25=100–1,5QL​

 

1,5QL=75QL=50

 

Agora substituímos a quantidade da firma líder na curva de reação da seguidora e achamos a produção ótima desta:

 

QS=50–12QL

 

QS=50–1250

 

QS=50−25

 

QS=25

 

Vimos que a quantidade produzida pela líder é de 50 unidades e a produção da seguidora é de 25 unidades.

 

Sabemos então que a produção total do mercado é de 75 unidades.

 

Com isso, conseguimos achar o preço deste mercado.

 

Basta substituirmos a quantidade total na curva de demanda:

 

P=175−1,5Q

 

P=175−1,5×75

 

P=175−112,5

 

P=62,5

 

O lucro da firma líder é dado então pela diferença entre sua receita e sua despesa.

 

Sua receita total é dada pela multiplicação entre sua produção e seu preço, ao passo que seu custo total é fornecido pele enunciado:

 

L=RT−CT

 

L=50×62,5−25×50

 

L=3125−1250

 

L=1875

 

Gabarito: Letra B