CONVEXIDADE

A variação das taxas de juros afeta o valor da carteira de forma NÃO linear, apesar de as fórmulas das durações aproximarem razoavelmente essas variações para valores pequenos. 

O que sabemos sobre a tangente (duração) dessa curva convexa?

Sabemos que, para variações muito pequenas de taxas de juros, a variação no valor da carteira, para cima ou para baixo é igual.

Mas para valores maiores, isso não se verifica. As variações POSITIVAS no valor da carteira são MAIORES do que as variações negativas.

A duração é uma primeira aproximação da sensibilidade às taxas de juros. É imprecisa, porém adequada para valores pequenos. A convexidade é uma segunda aproximação, que nos ajudará a ter estimativas mais precisas dessa sensibilidade.

"Não entendi muito bem. Para que serve a "medida de convexidade?"

Para medir a variação no preço que NÃO é explicada pela duração!

Vamos analisar a seguinte derivada da função de valor de mercado do título (V) com a variável taxa de juros (i):

Qual seria a segunda derivada (derivada da derivada) dessa expressão, a qual utilizamos para calcular a duração?

Qual a derivada da função abaixo?

De onde se conclui que V", a segunda derivada da função de valor de mercado do título (V) com a variável taxa de juros (i), seria:

A definição matemática da convexidade, como função da variável taxa de juros (i) é:

A primeira parte do somatório é o valor presente do fluxo futuro. Isso dividido pelo valor presente do título é exatamente o peso de cada período, conforme utilizamos na duration.

Dessa forma, temos a fórmula completa para a convexidade:

Em nosso exemplo da duração, a convexidade seria calculada como se segue:

Imagino que o você deve está se perguntando: "Como eu uso esse valor da convexidade?"

O entendimento da duração é claro, pois é tão somente a média ponderada dos períodos, pelo peso dos valores presentes na carteira.

Para entendermos o uso da convexidade, é preciso analisar sua relação com a duração. Por enquanto, apenas sabemos que a convexidade é a segunda derivada do valor da carteira em função da taxa de juros, e a derivada da duração é função da taxa de juros.



A convexidade, matematicamente falando, vai indicar como a duração muda para cada taxa de juros. Antes, para avaliarmos o preço de um título utilizando a duração, considerávamos um valor único para D. Agora temos uma função que mostra como D varia em função da taxa de juros.

Vamos ver como D se relaciona com C:

Pois a derivada segunda é a derivada da derivada primeira. 

Calculamos anteriormente o seguinte:

O que pode ser reescrito como:

Temos então:

Pela regra da derivação de produtos temos:

A fórmula aproximada, mais simples de usar, associando Preço do Título, Duração e Convexidade é a seguinte:

Nesse caso, a duração é a de Macalay. Com duração modificada seria:

Vejamos como ficaria a previsão do valor do título ajustando pela duração e pela convexidade.



Recordando:

Como ficaria o cálculo do Valor da Carteira usando a fórmula acima:

Como se vê, mesmo com a fórmula aproximada, é um cálculo muitíssimo mais preciso do que usando apenas a duration.

Para uma variação bem grande, como 5%, a fórmula com a convexidade dá um erro entre -0,24% e +0,30% em relação ao valor real calculado. Utilizando apenas a aproximação linear da duração, teríamos um erro de -2,4% e 2,9%. O erro com a convexidade é em terno de 10 vezes menor, no caso estudado.

Convexidade, outra fórmula.

Alguns livros abordam convexidade de uma forma mais simples e direta. Não é possível saber qual das formas será cobrada. Por isso, é importante conhecer as duas.

O significado dos termos é o mesmo aplicado para o cálculo da duração com fórmula semelhante.

Aproveitando a planilha calculada acima, podemos calcular a convexidade.

Tomemos uma variação de 1%, para mais e para menos, como fizemos para a duração. Teríamos:

A medida da convexidade ainda não é a que fará o ajuste no valor dos títulos.

O "ajuste de convexidade", que significa a variação no título que não é captada ou explicada pela duração, é a seguinte:

Ou seja, além da previsão sobre o valor da carteira, feita pela duração, teríamos que adicionar 0,1048% para ajustarmos pela convexidade.

Substituindo o ajuste de convexidade o que teríamos (suponha uma alta de juros de 1%)?

Ou seja, além do ajuste da duração, teríamos um ajuste pela convexidade. O valor 0,1048% é o ajuste pela convexidade.

Por esse método de ajuste, como ficaria a diferença entre o previsto e o real?

Algo interessante com esse método é que, apesar das "pontas" apresentarem diferença bem próxima ao método anterior, os valores da carteira previstos para a variação de juros 0%, 1% e -1%, são iguais aos valores calculados diretamente. No método anterior, só tínhamos precisão no ponto de partida (variação de juros de 0%), o que faz sentido, pois é um método baseado em derivadas.

Nesse método, temos precisão em 3 pontos. Isso porque utilizamos um ajuste de convexidade que foi calculado com base na variação de 1% (para cima e para baixo). Eis o motivo para a precisão nesses pontos.